JavaSE之时间复杂度与空间复杂度总结

原创已于 2022-02-24 09:48:17 修改 · 408 阅读

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于 2022-02-04 15:31:18 首次发布

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本文详细探讨了算法效率的两个关键指标——时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量算法运行速度，通过大O的渐进表示法进行描述，常见如O(1), O(logN), O(N), O(N^2)等。空间复杂度则关注算法所需的额外空间。文章列举了多个例子，如冒泡排序、二分查找、递归斐波那契数列等，来阐述如何分析和计算这两种复杂度。理解这些概念对于优化算法性能至关重要。

一、算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二、时间复杂度

1.概念

算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法： （1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

（3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况。

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况

3.一些时间复杂度的对应关系

（1）O(1) < O(log₂n) < O(n) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!)

即：常量阶<对数阶<线性阶<平方阶<立方阶<指数阶<阶乘阶

其实，对于n^2、n^3等诸如n^k统称为多项式阶

（2）P类问题和NP类问题

①时间复杂度为O(log₂n)、O(n)、O(n^2) 、O(n^3)的一般认为是有效算法，这类问题为P类问题（Polynomial,多项式）

②时间复杂度为O(2^n)、O(n!)的问题一般认为该算法无法实现，称为NP问题（Non-Deterministic Polynomial,非确定多项式）

4.一些常见的例子

（1）如果算法中包含并列的循环，则：若并列循环涉及问题规模相同，则取最大；若并列循环涉及问题规模不同，则求和

void func1(int N, int M) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; k++) {
        count++; 
    }
    for (int k = 0; k < N ; k++) {
        count++; 
    }
    System.out.println(count);
}

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

void func1(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < N; k++) {
        count++; 
    }
    for (int k = 0; k < N ; k++) {
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            count++; 
        }
    }
    System.out.println(count);
}

时间复杂度为 O(N^2)

（2）

void func2(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; k++) {
       count++; 
    }
    System.out.println(count);
}

基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

（3）

//二分查找
int binarySearch(int[] array, int value) {
   int begin = 0;
   int end = array.length - 1;
   while (begin <= end) {
       int mid = begin + ((end-begin) / 2);
       if (array[mid] < value)
           begin = mid + 1;
       else if (array[mid] > value)
           end = mid - 1;
       else
           return mid;
   }
   return -1; 
}

时间复杂度为O(logN) 。注意：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。

分析如下：

（4）

//冒泡排序
void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {
           if (array[i - 1] > array[i]) {
               Swap(array, i - 1, i);
               sorted = false;
           }
       }
       if (sorted == true) {
           break;
       }
   }
}

时间复杂度为 O(N^2)

分析如下：

（5）

long factorial(int N) {
    return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; 
}

递归的时间复杂度=递归次数*每次递归执行的次数

所以：本题的复杂度 = N * 1 = N 即O（N）

（6）

//递归  斐波那契数列
int fibonacci(int N) {
    return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

时间复杂度为O(n)，分析如下：

（7）对于条件判断语句，总的时间复杂度=其中时间复杂度最大的路径的时间复杂度

void fun3(int N){
   int count = 0;
   if(N > 0){
      for (int k = 0; k < N ; k++) {
         for (int i = 0; i < N; i++) {
             count++; 
         }
      }
   }else{
      for (int k = 0; k < N; k++) {
             count++; 
      }
   }
    System.out.println(count);
}

时间复杂度为 O(N^2)

三、空间复杂度

1.概念

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

2.一些常见的例子

（1）

void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {
           if (array[i - 1] > array[i]) {
               Swap(array, i - 1, i);
               sorted = false;
           }
       }
       if (sorted == true) {
           break;
       }
   }
}

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

（2）

int[] fibonacci(int n) {
    long[] fibArray = new long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; i++) {
    fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray; 
}

动态开辟了 N 个空间，空间复杂度为 O(N)

（3）

long factorial(int N) {
    return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N; 
}

递归调用了 N 次，开辟了 N 个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为 O(N)