网易笔试题-合唱团

合唱团

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题目

• 有 n 个学生站成一排，每个学生有一个能力值，牛牛想从这 n 个学生中按照顺序选取 k 名学生，要求相邻两个学生的位置编号的差不超过 d，使得这 k 个学生的能力值的乘积最大，你能返回最大的乘积吗？

输入描述：

• 每个输入包含 1 个测试用例。每个测试数据的第一行包含一个整数 n ($1 \leq n \leq 50$)，表示学生的个数。
  接下来的一行，包含 n 个整数，按顺序表示每个学生的能力值 $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$（$-50 \leq a_i \leq 50$）。
  接下来的一行包含两个整数，k ($1 \leq k \leq 10$)和 d ($1 \leq d \leq 50$).

输入例子：

3
7 4 7
2 50

输出例子:

49

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解题思路

题目难点

• 学生能力值有正负之分
• 如何利用学生编号差不超过d这个条件
• 最大乘积的取值大小, 如果采用int类型会不会溢出

$$设dpMax_{[i][j]} 是以a_i为最后一个学生, 长度为j+1的序列的最大乘积.\\ 设dpMin_{[i][j]} 是以a_i为最后一个学生, 长度为j+1的序列的最小乘积.$$
当$j=0$时容易有

$$dpMax_{[i][0]} = dpMin_{[i][0]} = a_i$$


对$dpMax_{[i][j]}$, $dpMin_[i][j]$很容易有如下定义

$$dpMax_{[i][j]} =max(a_i * tempMax,\;\;a_i * tempMin)\\ dpMin_{[i][j]} =min(a_i * tempMax,\;\;a_i * tempMin)$$

对于$tempMax$, $tempMin$有如下定义(这里之所以还要求最小值的原因是因为存在负数的情况)

$$\begin{cases} tempMax=max(dpMax_{[i-1][j-1]},\;dpMax_{[i-2][j-1]},\;\dots,\;dpMax_{[i-d][j-1]})\\ tempMin=min(dpMin_{[i-1][j-1]}, dpMin_{[i-2][j-1]},\;\dots,\;dpMin_{[i-d][j-1]}) \end{cases}$$

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问题分解示意图

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代码

#include <iostream>
#include <vector>

#define max(a,b) ((a) > (b) ? (a) : (b))    
#define min(a,b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

using namespace std;


// 学生能力数组
vector<long long> a;

int main()
{
    // 输入实例
    int n, k ,d;
    cin >>n;
    for(int idx=0; idx<n; ++idx){
        long long power;
        cin >> power;
        a.push_back(power);
    }
    cin >> k >> d;

    // 初始化成dpMax[n][k]二维数组
    vector< vector<long long> >dpMax(n);
    for(int idx=0; idx<n; ++idx){
        dpMax[idx].resize(k);
    }


    // 初始化成dpMin[n][k]二维数组
    vector< vector<long long> >dpMin(n);
    for(int idx=0; idx<n; ++idx){
        dpMin[idx].resize(k);
    }

    // 迭代开始之前的初始值dpMax[i][0] = dpMin[i][0] = a[i]
    for(int i=0; i<n; ++i){
        dpMax[i][0] = a[i];
        dpMin[i][0] = a[i];
    }

    for(int j=1; j<=k-1; ++j){
        // 这里从i=j开始迭代是因为序列长度为j+1，则最后一个学生的下标至少为j
        for(int i=j; i<=n-1; ++i){
            long long tempMin, tempMax;
            tempMax = dpMax[i-1][j-1];
            tempMin = dpMin[i-1][j-1];
            // 求出
            // max(dpMax[i-1][j-1], dpMax[i-2][j-1], ..., dpMax[i-d][j-1])
            // min(dpMin[i-1][j-1], dpMin[i-2][j-1], ..., dpMin[i-d][j-1])
            //
            // 值得注意的是这里的除了满足 p>=i-d 以外 还应该满足 p>=j-1 的条件
            // 因为子序列长度为j, 则最后一个学生的下标至少为j-1, 以保证长度为j
            for(int p=i-1; p >= i-d && p>=j-1; --p){
                tempMax = max(dpMax[p][j-1], tempMax);
                tempMin = min(dpMin[p][j-1], tempMin);
            }
            dpMax[i][j] = max(tempMax*a[i], tempMin*a[i]);
            dpMin[i][j] = min(tempMax*a[i], tempMin*a[i]);
        }
    }

    // 求出max(dpMax[k-1][k-1], dpMax[k][k-1],..., dpMax[n-1][k-1])中最大的数
    long long result = dpMax[k-1][k-1];
    for(int i = k-1; i< n; ++i){
        result = max(dpMax[i][k-1], result);
    }

    cout << result << endl;
    return 0;
}