Gym 101147G - The Galactic Olympics

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组合数学

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本文解析了一道典型的组合数学竞赛题目，题目要求计算在给定的运动项目数量和学生数量下，学生参与运动项目的不同分配方案的数量。文章提供了两种解决思路：一种适用于运动项目数小于等于学生数的情况；另一种则适用于运动项目数大于学生数的情况。

题意:
T组数据,每组数据两个数n(运动项目数量),k(学生数量),每个运动只能有一个学生,学生可以参加多个运动项目.求问有多少种分配方法.

思路:
1.n <= k时,因为要满足题意,那么答案就是 $A(k,n)$ .
2.n > k时,问题即可以转换为n个可区分的小球放入k个可区分的盒子里,盒子不为空,那么答案就是 $k! \cdot S(n,k)$ . (S表示的第二类斯特林数)

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAX = 1e6 + 5;
const int MAXN = 1e3 + 5;
LL cnt[MAX],s[MAXN][MAXN];

void Init() {
  cnt[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= 1e3; ++i) {
    cnt [i] = cnt[i-1] * i % MOD;
  }
  for(int i = 1; i < MAXN; ++i) {
    for (int j = 1; j <= i; ++j) {
      if (i == j || j == 1) s[i][j] = 1;
      else if (i > 1) 
      s[i][j] = (j * s[i-1][j] % MOD + s[i-1][j-1]) % MOD;
    }
  }
}

int main() {
  int t,n,k;
  freopen("galactic.in","r",stdin);
  scanf("%d",&t);
  Init();
  while (t--) {
    LL ans = 1;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    if (n <= k) {
      for (LL i = n; i >= n - k + 1; --i) {
        ans = (ans * i) % MOD;
      }
      printf("%lld\n",ans);
    }
    else {
      printf("%lld\n",cnt[k] * s[n][k] % MOD);
    }
  }