codeforces 717A

题目大意

给定$l,r,k$，求出：

$$\sum_{i=l}^r \binom{f_{i+2}}{k}$$
$f(n) = n,n \leq 1$
$f(n)=f(n-1)+f(n-2),n>1$

数据范围

$k \leq 500$,$0 \leq l \leq r \leq 10^{18}$

题解

因为$\binom{x}{k} = \frac{x!}{k!(x-k)!}$，因此$\binom{x}{k}$可以写成一个$k$次的多项式，再前缀和减一下，问题变成要求：

$$\sum_{i=0}^r f_i^k$$
令$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，我们知道：
$f_n = \frac{\sqrt{5}}{5}\left(a^n-b^n\right)$，因此有：

$$\begin{aligned} &\sum_{i=0}^r f_i^k \\ =&\sum_{i=0}^r \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\left(a^i-b^i\right)\right)^k \\ =&\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^k \sum_{i=0}^r \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}a^{ij}(-b)^{i(k-j)}\\ =&\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^k \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j}\sum_{i=0}^n \left(a^jb^{k-j}\right)^i\\ \end{aligned}$$
我们现在将每个数表示成$x=a+b\sqrt{5}$的形式，我们可以很轻松的定义这些数的加减乘运算，那么最后我们相当于枚举$j$，求出$x=a^jb^{k-j}$，然后倍增地求出$\sum_{i=0}^n x^i$，最后乘上$\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^k$即可。
因为每个$f_i$都是整数，因此最终求出来的数$x$的$b$必然为0，直接返回实数部分就好了。
时间复杂度：
$O(k^2\log r)$