蓝桥杯 乘积最大-动态规划

本文介绍了一种使用动态规划解决字符串中乘法表达式最大乘积问题的方法,重点在于在洛谷等强数据平台上的优化策略,需要考虑高精度计算。博主分享了非高精度代码并提示读者如何升级为高精度版本以通过复杂测试用例。

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思路 :定义一个二维数组dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j],代表在第i个字符后插入第j个乘号取得的最大乘积。状态转移:dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i−1][l]∗sum)dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][l] * sum)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i1][l]sum)
遍历lll

在其他的oj可以过,但是在洛谷过不了,洛谷的数据比较强,需要用到高精度存dpdpdp,这里的代码是非高精度的,博主太懒了,如果想过洛谷的话自己加个高精度乘法吧。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e3;
int fast(int a, int n) {
    int base = a, res = 1;
    while (n) {
        if (n & 1)res *= base;
        base *= base;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int a[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int fun(int l, int r) {
    int sum = 0;
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        sum += a[i];
        sum *= 10;
    }
    return sum / 10;
}

signed main() {
//    int n =  fast(2,19);
//    cout<<fast(2,19)<<endl;
//    int sum = 0;
//    for(int i = 19;i>=0;i--)
//    {
//        sum += 1<<i;
//        cout<<sum<<endl;
//    }

    int n, k;
    cin >> n >> k;
    string ss;
    cin >> ss;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = ss[i - 1] - '0';
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int j = 1;
        int sum = 0;
        while (j <= i) {
            sum += a[j];
            sum *= 10;
            j++;
        }
        sum /= 10;
        dp[1][i] = sum;
    }

    for (int i = 2; i <= k; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            for (int l = i - 1; l < j; l++) //1-l,l + 1-j;
            {
                int sum = 0;
                sum = fun(l + 1, j);
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][l] * sum);
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = k; i < n; i++) {
        ans = max(ans, dp[k][i] * fun(i + 1, n));
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

### 蓝桥杯竞赛中的乘积最大问题 对于蓝桥杯竞赛中涉及的乘积最大问题,在处理此类题目时,通常需要考虑正负数的影响以及如何选取能够得到最大乘积的子序列。针对给定的一系列整数,目标是从这些数字中挑选出特定数量的元素使其乘积最大化。 考虑到可能存在负数的情况,解决方案不仅限于简单地选择绝对值最大的几个数值。当所选元素的数量`K`为奇数时,如果数组中有足够的负数,则可能通过组合最小的两个负数来获得较大的正值贡献[^3]。具体来说: - 需要先对整个列表按照绝对值大小降序排列; - 如果`K`是偶数,那么直接取前`K`个数相乘即可; - 若`K`为奇数且存在至少一对负数,则比较最末尾的一个大正数与开头两小负数之积哪个更大,以此决定最终的选择方案[^4]。 下面给出一段基于上述逻辑编写的C++代码片段用于解决此类型的问题: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; bool cmp(int a, int b){ return abs(a)>abs(b); } int main(){ int n,k; cin>>n>>k; vector<int> nums(n); for(auto& num : nums) cin >> num; sort(nums.begin(),nums.end(),cmp); long long res = 1LL; if(k%2==0 || nums[k-1]>=0){ // k is even or all selected are non-negative for(int i=0;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); } else{ // k is odd and there's at least one negative number among the first K elements bool flag=false; for(int i=k-1,j=n-1;i>=0&&j>i;--i,--j){ if(abs(1LL*nums[j]*nums[j-1])>abs(1LL*nums[i])){ res=res*(long long)(nums[j]*(long long)nums[j-1]); j-=2; flag=true; break; } } if(!flag)//if no swap happened then just multiply as usual. for(int i=0;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); else//otherwise adjust remaining multiplications after swapping two smallest negatives with largest positives available outside top-K range. for(int i=j+k-(j-k+1)<k?j+k-(j-k+1):k;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); } cout<<((res<0)?(-res):(res))%1000000009<<"\n"; } ``` 该程序首先读入待处理的数据长度`n`和所需选出的最大乘积项数目`k`,接着接收一系列整数作为候选集。之后利用自定义比较函数`cmp()`完成按绝对值排序操作,并依据之前提到的原则计算结果并输出。
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