[luogu4256] 公主の#19准备月考（线段树，状压）

最新推荐文章于 2025-03-31 20:08:31 发布

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公主面临月考挑战，特别是在文综方面。通过线段树算法帮助公主优化选择题得分，涉及预估值的gcd、lcm计算及质因数分解等操作。

题目

背景

公主在玩完游戏后，也要月考了。（就算是公主也要月考啊QWQ）

描述

公主的文综太差了，全校排名1100+（全校就1100多人），她分析了好久，发现她如果把所有时间放在选择题上，得分会比较好一点。
文综题目共有n个，编号从1到n
公主给每个题目算出来了一个预估值Ai，她认为，一段连续题目的答案会在它们的预估值的gcd和lcm之间；有时候她的想法不同了，一些题目的预估值会改变；有时候，会出现多选题，多选题的答案数量就是一段连续题目答案的预估值的公约数的个数。
具体来说，对于一个数列，有四种操作：
L x y p 表示公主询问区间[x,y]的数字的lcm对p取模之后的值
G x y p 表示公主询问区间[x,y]的数字的gcd对p取模之后的值
C x y c 表示公主改变区间[x,y]的数字的值，统一为c
S x y p 表示公主询问区间[x,y]的数字的公因数个数对p取模之后的值
公主月考不能挂科，不然她就不能学习OI了（假的），所以请你帮帮她吧！

输入

第一行，两个正整数n和q，q表示操作次数
第二行，n个正整数，表示dkw对题目的预估值
接下来q行，每行输入一个操作，格式详见题目描述

输出

对于每个询问，输出它的答案。

输入样例

10 10
42 68 35 1 70 25 79 59 63 65 
L 2 6 28
L 2 6 43
G 2 7 5
G 3 4 83
L 7 9 96
G 2 7 39
S 3 8 100
L 4 5 12
G 4 4 65
L 2 4 69

输出样例

说明

对于30%的数据，1<=n,q<=1000
对于另外20%的数据，1<=n<=1000，1<=q<=100000
对于另外20%的数据，1<=n<=100000，1<=q<=100000，保证没有修改操作
对于100%的数据，1<=n<=300000，1<=q<=300000
保证任何时刻每个题目的预估值都在[1,100]之间，答案取模之后不超过int

解题思路

肯定是线段树啊！
但是，这道题每次询问时的模数不同！所以直接存gcd就算了吧。
不过数据保证所有值都在 $[1,100]$ 之间，而100以内的质数很少，更重要的是，gcd和lcm都是质因数相关的值，所以我们考虑存一下每个值质因数分解后的情况——于是，求 $gcd$ 就是每个质因数次数取 $min$ 再相乘，求 $lcm$ 就是每个质因数次数取 $max$ 再相乘，这样就可以很轻松的用线段树维护了。

然而，如果每一个线段树节点都开一个数组来记录质因数分解的结果，不仅时间多了个 $35$ 的常数，空间也多了个 $35$ —— $MLE$ 了
怎么办呢？发现所有 $[1,100]$ 的数进行质因数分解后只有35个因数（6个2，4个3，2个5，2个7，其余100以内质数各一个），那么我们可以用一个long long状压，并且状压后线段树的维护更简单——求gcd就将两状态相与，求lcm就将两状态相或。

时间复杂度 $O(nlogn)$

Code

#include<cstdio>

#define lid id<<1
#define rid id<<1|1
#define mid ((tr[id].l+tr[id].r)>>1)

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 300005;
int n, q, a[N], ql, qr, qp, cnt[105];
char opt[2];
int list[40] = {2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97};

struct segTree{
    int l, r, cov;
    LL mx, mn;
}tr[N<<2];

inline LL getBit(int x){
    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i < 35; i++)
        if(x % list[i] == 0){
            ans |= (1ll << i);
            x /= list[i];
        }
    return ans;
}

inline void pushup(int id){
    tr[id].mx = tr[lid].mx | tr[rid].mx;
    tr[id].mn = tr[lid].mn & tr[rid].mn;
}

inline void pushdown(int id){
    if(tr[id].l == tr[id].r)    return;
    if(tr[id].cov){
        tr[lid].cov = tr[rid].cov = tr[id].cov;
        tr[lid].mx = tr[lid].mn = tr[rid].mx = tr[rid].mn = getBit(tr[id].cov);
        tr[id].cov = 0;
    }
}

void build(int id, int l, int r){
    tr[id].l = l, tr[id].r = r;
    if(tr[id].l == tr[id].r){
        tr[id].mx = tr[id].mn = getBit(a[l]);
        return;
    }
    build(lid, l, mid);
    build(rid, mid+1, r);
    pushup(id);
}

void modify(int id, int l, int r, int val){
    pushdown(id);
    if(tr[id].l == l && tr[id].r == r){
        tr[id].cov = val;
        tr[id].mx = tr[id].mn = getBit(val);
        return;
    }
    if(r <= mid)    modify(lid, l, r, val);
    else if(l > mid)    modify(rid, l, r, val);
    else    modify(lid, l, mid, val), modify(rid, mid+1, r, val);
    pushup(id);
}

segTree query(int id, int l, int r){
    pushdown(id);
    if(tr[id].l == l && tr[id].r == r)  return tr[id];
    if(r <= mid)    return query(lid, l, r);
    else if(l > mid)    return query(rid, l, r);
    else{
        segTree t, t1 = query(lid, l, mid), t2 = query(rid, mid+1, r);
        t.mx = t1.mx | t2.mx;
        t.mn = t1.mn & t2.mn;
        return t;
    }
}

int main(){
    for(int i = 1; i <= 100; i++)
        for(int j = 1; j * j <= i; j++)
            if(i % j == 0){
                cnt[i] += 2;
                if(j * j == i)  cnt[i]--;
            }
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    build(1, 1, n);
    while(q--){
        scanf("%s%d%d%d", opt, &ql, &qr, &qp);
        if(opt[0] == 'C')   modify(1, ql, qr, qp);
        else{
            segTree t = query(1, ql, qr);
            LL ans = 1ll;
            if(opt[0] == 'L'){
                for(int i = 0; i < 35; i++)
                    if((t.mx >> i) & 1)
                        (ans *= list[i]) %= qp;
                printf("%lld\n", ans % qp);
            }
            else{
                for(int i = 0; i < 35; i++)
                    if((t.mn >> i) & 1)
                        ans *= list[i];
                if(opt[0] == 'G')   printf("%lld\n", ans % qp);
                else if(opt[0] == 'S')  printf("%d\n", cnt[ans] % qp);
            }
        }
    }
    return 0;
}