Reinforcement Learning:An introduction读书笔记-Chapter 3

Chapter 3 Finite Markov Decision Processes

3.1 The Agent-Environment Interface

在每一步t，agent都会接收到环境的state，$S_t\in \mathcal{S}$，在此基础上选择一个action，$A_t\in\mathcal{A}(S_t)$，即在state S下所有可选的action。在下一步中，agent收到了reward(reward是在agent之外的)，$R_{t+1}$,并且发现自己在一个新的state，$S_{t+1}$。

在每一步agent都会有一个关于states到选择某个action可能性的映射，这就是policy，$\pi_t(a|s)$即为在state s 时选择action a的可能性。

所有不能被agent直接改变的就是environment，agent-environment的界限是绝对控制而不是是否能得到完整的信息。

3.2 Goals and Rewards

选取reward时必须满足agent让reward最大化同时也能达成我们设定的目标。告知它你想达到的目标是什么，而不是如何达到这个目标。比如在围棋中，我们应将赢得棋局的reward设置为+1，而不是吃到敌方棋子作为+1，否则agent可能会以输掉棋局的代价吃到更多敌方棋子。

我们将reward定义在agent之外并不妨碍有些agent拥有内在的reward(internal rewards)

3.3 Returns

return $G_t$是关于reward序列的某一个函数。
episodic tasks：agent-environment交互可以很自然的被分成称为episodes的子序列的tasks。$\mathcal{S}_+$用来表示terminal state。在这种情况下其return一般定义如下(T即terminal state)：

$$G_t \doteq R_{t+1} + R_{t+2} + R_{t+3} + ... + R_T$$
continuing tasks:在很多情况下agent-environment交互不能被很自然的分成定义好的episodes，而是无限制的一直连续下去，或者要持续很长时间。return的一般定义如下：
$$G_t \doteq R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + ... = \sum^\infty_{k=0}\gamma^k R_{t+k+1}$$
其中$0\leq\gamma\leq1$，被称为discount rate。如果$\gamma < 1$,只要$R_k$是有界的，那么无限的加和式是有限的值，当$\gamma = 0$说明其只看重即时的reward，$\gamma$越靠近1说明其将未来的reward看的越重。

3.4 Unified Notation for Episodic and Continuing Tasks

$S_{t,i}$:在第i个episode，t时间节点时的state，action，reward，policy等可以此类推
为了让episodic task和continuing task可以一同表示，我们将episode 的结束看作是一个特殊的state，absorbing state，在这个state它只会从该状态转化为自己本身，reward为0。

就像上图所示，整个reward sequence就可以看成+1,+1,+1,0,0,…就转化成了一个无限的序列。这样一来无论是episodic task还是continuing task的return就可以统一定义成下式，只是涵盖了$\gamma = 1$或$T=\infty$的可能性(两个可能性不能同时满足，在第十章会引入共存的情况。)

$$G_t \doteq \sum_{k=0}^{T-t-1} \gamma^k R_{t+k+1}$$

3.5 The Markov Property

Markov property:
一般情况下在t+1时environment做出的对于在t时action的回应是由之前所有发生过的事情决定的，可以用下式表示。

$$\mathrm{Pr}\{S_{t+1} = s',R_{t+1} = r| S_0,A_0,R_1,...,S_{t-1},A{t-1},R_t,S_t,A_t\}$$
如果一个state signal有Markov property，t+1时刻environment做出的回应值决定于t时的state和action，可用下式表示：
$$p(s',r|s,a)\doteq \mathrm{Pr}{S_{t+1}=s',R_{t+1}=r|S_t=s,A_t=a}$$
换句话说，一个state signal有Markov property并是Markov state当且仅当对所有$s',r$及所有历史state和action而言第一个式子都是等于$p(s',r|S_t,A_t)$的。在这种情况下environment和task本身都满足Markov property。

如果一个environment满足Markov property，只要给出现在的state和action就可以预测出下一个state和期望得到的reward。只要不断的重复这个过程，就可以推测出未来所有的state和期望得到的reward，其效果和知道所有到目前为止完整的历史state与action一样。也就是说一个关于Markov state的最优policy函数是与关于所有历史信息的最优policy函数一样可靠的。
就算一个state不是完全符合Markov的，但我们可以把它想做一个接近markov的状态。

3.6 Markov Decision Processes

一个满足markov性质的增强学习task叫做markov decison process或者MDP，如果state和action的空间都是有限的就叫做有限MDP。
一个典型的有限MDP，是由state和action集以及每一步环境的动态变化定义的。只要给出state s和action a，以及所有下一个可能成为的state和获得的reward，就可以计算出所有关于环境的信息，比如state action对的期望reward、state的转化概率、满足state-action-next-state的三元组的reward的数学期望等。finit MDP可以写做可以写做

$$p(s',r|s,a)\doteq Pr\{S_{t+1}=s',R_{t+1}=r|S_t = s,A_t = a\}$$
state-action对的期望reward则可以写做
$$r(s,a)\doteq\mathbb{E}[R_{t+1}|S_t=s,A_t=a]=\sum_{r\in \mathcal{R}}r\sum_{s' \in \mathcal{S}} p(s',r|s,a)$$
state的转化概率可以写做
$$p(s|s',a)\doteq Pr\{S_{t+1} = s'|S_t=s,A_t=a\}=\sum_{r\in \mathcal{R}}p(s',r|s,a)$$
满足state-action-next-state的三元组的reward的数学期望可以写成
$$r(s,a,s')\doteq\mathbb{E}[R_{t+1}|S_t=t,A_t=a,S_{t+1}=s']=\frac{\sum_{r\in\mathcal{R}}rp(s',r|s,a)}{p(s'|s,a)}$$
事实上就是在$S_t=s,A_t=a,S_{t+1}=s'$的情况下reward的数学期望，每个reward占到的概率是$\frac{p(s',r|s,a)}{p(s'|s,a)}$

在transition graph中有state nodes和action nodes，一个action node对应的所有的转化概率加起来为1，下图是一个transition graph，大的圆(里面写着low 和 high的)是state nodes，小的实心的是action node。每个箭头上前面那个数字是转化的概率，后面那个数字是对应三元组的reward的期望。

Value Function

value function是一个评估某个state的好坏，或者是在某个state采取某个action的好坏。这里的好坏指的是可以期望的未来的reward。
$v_\pi(s)$ 表示的是state s在 policy $\pi$条件下的value。

$$v_\pi(s)\doteq\mathbb{E}_\pi[G_t|S_t=s]=\mathbb{E}_\pi[\sum^\infty_{k=0}\gamma^k R_{t+k+1}|S_t=s]$$
$E_\pi[\cdot]$代表的是在policy $\pi$ 情况下任意时刻的期望。所有的terminal state的value都是0，$v_\pi$函数是policy $\pi$ 的state-value function。
$q_{\pi}(s,a)$代表的是在state s并在policy $\pi$的情况下采取action a 的reward的期望。
$$q_{\pi}(s,a)\doteq\mathbb{E}_\pi[G_t|S_t=s,A_t=a]=\mathbb{E}[\sum_{k=0}^\infty \gamma^k R_{t+k+1}|S_t=s,A_t=a]$$
$q_\pi$是policy $\pi$ 的 action-value function。
$v_\pi(s)$ 满足下述递归式。
$$\begin{aligned} v_\pi(s)&\doteq\mathbb{E}_\pi[\sum^\infty_{k=0}\gamma^k R_{t+k+1}|S_t=s] \\&=\mathbb{E}_\pi[R_{t+1}+\gamma\sum^\infty_{k=0}\gamma^k R_{t+k+2}|S_t=s] \\&=\sum_a \pi(a|s)\sum_{s'}\sum_r p(s',r|s,a)[r+\gamma\mathbb{E}_\pi[\sum^\infty_{k=0}\gamma^k R_{t+k+2}|S_{t+1}=s']] \\&//\pi(a|s)是在state\ s选择某一a的概率，\sum即所有可能action的和 \\&//p是转换到s'并得到reward\ r的概率,两个\sum即所有可能r和s'的和 \\&//后面中括号里的是本次的reward\ r加上未来的reward的期望就是value \\&=\sum_a\pi(a|s)\sum_{s',r}p(s',r|s,a)[r+\gamma v_\pi(s')] \end{aligned}$$
上式就是对于 $v_\pi$ 的Bellman equation,下图就是backup diagrams，它表示了增强学习中一个很重要的操作backup：将value的信息从后续的state回传给上一个state

Optimal Value Function

当且仅当对于所有$s\in\mathcal{S}$都有$v_\pi(s)\ge v_{\pi'}(s)$，则称$\pi\ge\pi'$。总存在至少这样一个policy是优于或等于其他所有的policy的，这就是optimal policy，用$\pi_*$来表示。optimal policy可能有很多个，但它们都共享同样的state-value function，记作$v_*$。并且满足下式：

$$v_*(s)\doteq \mathop{\max}_\pi v_\pi(s)\quad\forall s\in\mathcal{S}$$
它们也共享相同的optimal action-value function，记作$q_*$，可以定义成
$$q_*(s,a)\doteq \mathop{\max}_\pi q_\pi(s,a)$$
也可以写成$v_*$的形式
$$q_*(s,a)=\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_*(S_{t+1})|S_t=s,A_t=a]$$
因为$v_*(s)$是最优的，所以它的值必定等于在那个state最优的action的return，也就可以表示成
$$\begin{aligned} v_*(s) &= \mathop{\max}_{a\in \mathcal{A}(s)}q_{\pi_*}(s,a) \\&=\mathop{\max}_{a}\mathbb{E}_{\pi_*}[\sum^\infty_{k=0}\gamma^k R_{t+k+1}|S_t=s,A_t=a] \\&=\mathop{\max}_{a}\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_*(S_{t+1})|S_t=s,A_t=a] \\&=\mathop{\max}_{a\in \mathcal{A}(s)}\sum_{s',r}p(s',r|s,a)[r+\gamma v_*(s')] \end{aligned}$$
$q_*$也可以换一种表达方式
$$q_*(s,a) = \sum_{s',r}p(s',r|s,a)[r+\gamma \mathop{\max}_{a'}q_*(s',a')]$$
上述式子称为Bellman optimality equation
事实上我们只要知道$p(s',r|s,a)$就可以通过上述的式子推导出$v_*$，因为每个s有这样一个等式，如果有N个state也就有N个等式，有N个未知数，就可以通过非线性方程解出来。得到了$v_*$也就可以得出$q_*$。这也就意味着我们只要在每个state greedy地找到一个action使得Bellman optimality equation最大化就可以了。本来greedy是一个短期的概念，但因为value本来就考虑了长远的reward，就使得只要greedy地专注于短期的或者说某一步的最优就可以得到长期的最优，就将return从长期转化到了每个state局部、立马可得的。
虽然接触Bellman optimality equation可以得到最优的policy，但是很少是直接有效的，因为这要求穷举，找出所有的可能性。这个解决方案建立在至少以下3个假设上：

1. 可以很精确地知道环境的动态
2. 有足够多的计算资源
3. 符合马尔可夫
   很多增强学习的问题都可以看作是近似解出Bellman optimality equation

Optimality and Approximation

主要要克服的问题：计算力的限制（尤其是每一步计算力的限制），空间的限制
增强学习on-line学习的本质让其放更多的精力在经常出现的情况上，在这些情况上做更好的决定，而不是专注于不经常出现的情况。