欧拉函数 欧拉定理 欧拉降幂到底是个什么鬼？？

最新推荐文章于 2021-07-08 19:01:28 发布
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分类专栏： 数学+数论
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Peson_Du/article/details/98515538
本文深入探讨了欧拉函数的概念，即小于n且与n互质的数的个数，以及欧拉定理——数论四大定理之一，阐述了若正整数a与n互质，则a的φ(n)次方除以n的余数为1的原理。通过本文，读者将全面理解欧拉函数与欧拉定理在数论领域的应用。

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欧拉函数：小于n与n互质的数个数

欧拉定理：数论四大定理之一：若正整数 a , n 互质，则  a^φ(n)≡1(mod n)   其中 φ(n) 是欧拉函数（1~n) 与 n 互质的数。

                 我有一篇博客专门讲解四大定理数论四大定理

欧拉降幂：

 

                      

6.1.8 蓝桥杯数学之欧拉函数&欧拉降幂
tang7mj的博客
01-28 487
在编程竞赛中，欧拉函数和欧拉降幂是解决一系列数论问题的关键工具。欧拉函数用于衡量与某个正整数互质的数的数量，而欧拉降幂则利用欧拉函数来简化大幂次运算。本文将探讨这两个概念及其在蓝桥杯等编程竞赛中的应用。
欧拉函数以及欧拉降幂
雨潇的博客
09-01 1598
大数幂运算指数太大的时候，我们需要进行降幂操作。 首先呢，认识欧拉定理之前 先了解一下欧拉函数 欧拉函数性质 若p是一个质数，那么Φ(p)=p-1 欧拉函数是积性函数，所以Φ(nm)=Φ(n)Φ(m) 若n=p^k且p为质数，那么Φ(n)=p^k-p^(k-1)。（证明：因为p为质数，那么p^k能被p整除的就有p^(k-1）个，如此说来，不能被p整除的就是两者相减咯） 当n为奇数时，有...
详解欧拉降幂
Nerdant
10-23 1万+
引出： 为了求解这个式子，我们可以怎么做？ 暴力pow？快速幂？ 很显然，当b大到一定程度时，利用pow或者快速幂这样的算法是无法在给定时间内求解的，这时我们引入欧拉降幂算法，这个算法的特点就是降低幂方的值而不影响最终结果，使我们解决问题的时间缩短。 结论： 先给出欧拉降幂的公式： 其中代表欧拉函数值 求解： 欧拉函数在这里不做多介绍了，说简单了就是小于等于n的与n互质的数的...
欧拉降幂
hjsss3的博客
08-10 3414
指数爆炸的时候就要降幂 就是求a^b mod c 可以转化为 a^(b mod phi(c)+phi(c)) mod c   phi 为 欧拉函数   欧拉函数phi(n)的求法： ll phi(ll n) { ll i,rea=n; for(i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { ...
欧拉函数|降幂
08-22 462
定义 对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 内容 通式： 其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。 性质 ① n的所有质因子之和是φ(n)*n/2...
【欧拉公式--降幂】
lx233
09-17 810
    焦作赛区的题目 快速幂模板+取模 因为a^b  b非常大 b可以取模化简 题目：https://nanti.jisuanke.com/t/31716 #include<algorithm> #include<iostream> #include<string> using namespace std; const int mode = 100...
欧拉函数与欧拉定理
RDJ_Widow的博客
01-24 1557
一、欧拉函数的定义：在数论中，对于正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1） 二、欧拉函数： 其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数 注意：每种质因数只取一个 三、欧拉函数的相关性质： 若n为质数，则φ(n)=n-1 手动证明：若n为质数，则n的质因数只有n本身，则φ(n)=n*(1-1/n)=n-1 若m,n互质，则φ(mn)=φ...
HDU 5728 PowMod 欧拉函数公式推导+欧拉降幂
Fuko_Ibuki的博客
07-08 8437
文章目录题意 题意 令k=∑i=1mϕ(n×i)  mod  109+7k=\sum_{i=1}^{m}\phi(n\times i)\ \ mod \ \ 10^9+7k=∑i=1m​ϕ(n×i)  mod  109+7,求kkkkkk...... mod pk^{k^{k^{k^{k^k......}}}}\ mod\ pkkkkkk...... mod p. n,m,p≤107n
欧拉定理、拓展欧拉定理及其应用（欧拉降幂法）
06-11
拓展欧拉定理是欧拉定理的一种推广，适用于当 $a$ 和 $n$ 不互质的情况。拓展欧拉定理表述为：若 $a$ 和 $n$ 为正整数，且 $a$ 与 $n$ 不同时为 $0$，则 $a^{\phi(n)+\operatorname{lcm}(a,n)}\equiv a^{\phi(n)}\p...
欧拉函数，欧拉公式，降幂公式
Destiny的博客
05-12 1102
欧拉函数 欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。（例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。） 通式： 其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。 质因数：质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。 int euler(int n) { int number = 1, i; for(i=2; i*i <=...
欧拉降幂和广义欧拉降幂
热门推荐
阿狸的博客
07-28 1万+
先百度贴个欧拉定理 由此可以得到降幂公式 第一个要求a和p互质，第二个和第三个是广义欧拉降幂，不要求a和p互质，但要求b和的大小关系。 那么有了这个公式先写个题目 bzoj3884 题意：求2^(2^(2^(2^(2^...)))) mod p的值 思路:这样子每次求p的欧拉函数，求解log(p)次左右p就变成1了，那么再往后结果都是0了。题解上写的很清楚。 贴个出题人的题解。...
codeforces 17D. Notepad 欧拉函数降幂
swust_fang
08-07 870
D. Notepad time limit per test 2 seconds memory limit per test 64 megabytes input standard input output standard output Nick is attracted by everything unconventional. H
牛客网暑期ACM多校训练营（第四场） - A Ternary String （欧拉函数降幂）
Mr_Treeeee的博客
07-29 343
设前面经过t秒才到这个s[i]. 那么删这个数（和他的生产物）有这个规律 0: t+1 1: 2*(t+1) 2: 3*(2^(t+1)-1) 虽然找到了规律，可以用递推的方法求出答案。但是答案一下成为幂，但是一下又要对1e9+7取模。所以只能用欧拉函数降幂做。 我们可以利用欧拉函数phi()的性质。 对于a，c互质成立。   对于a，c不互质的情况。用广义欧拉定理： 对于...
【BZOJ3884】上帝与集合的正确用法
CreationAugust is 14 years old forever
09-02 1974
Description根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的： 第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。 第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。 第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。 第四天，
欧拉降幂（欧拉-费马定理）
xiange的自闭路
07-30 1544
map&lt;ll,ll&gt; map_phi; ll get_phi(ll n) { ll res = n,a = n; for(ll i = 2;i * i &lt;= n;++i){ if(a % i == 0){ res = res / i * (i - 1); while(a % i == 0) a...
欧拉函数 欧拉降幂 快速幂
weixin_30399155的博客
02-03 162
欧拉函数 即求1到n-1内与n互质的数的个数 ll phi(ll n) { ll i,rea=n; for(i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { rea=rea-rea/i; while(n%i==0) n/=...
欧拉函数广义降幂
小糊涂的博客
08-29 403
https://www.luogu.org/problem/P5091 #include<stdio.h> #include<iostream> #include<algorithm> #include<string.h> #include<vector> #include<cmath> #includ...
数学--数论--欧拉降幂--P5091 欧拉定理
日拱一卒,功不唐捐
03-01 2803
题目背景 出题人也想写有趣的题面，可惜并没有能力。 题目描述 给你三个正整数，a,m,ba,m,ba,m,b，你需要求：ab mod ma^b \bmod mabmodm 输入格式 一行三个整数，a,m,ba,m,ba,m,b 输出格式 一个整数表示答案 输入输出样例 输入 #1 复制 2 7 4 输出 #1 复制 2输入 #2 复制 9...
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