快速幂模板

快速幂

题目描述

给定 n 组 $a_i,b_i,p_i$，对于每组数据，求出 $a_i^{b_i}$ % $p_i$ 的值。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,p_i$。

输出格式

对于每组数据，输出一个结果，表示 $a_i^{b_i}$ % $p_i$ 的值。

每个结果占一行。

数据范围

$1\le n\le 100000,$
$1\le a_i,b_i,p_i\le 2\times 10^9$

输入样例：

2
3 2 5
4 3 9

输出样例：

4
1

题解：

$a^b$中 $b$ 可以写出二进制形式

例如:
$5$= $(101{)}_2$ = $2^0+2^2$
$a^5=a^{2^0+2^2}=a^{2^0}\ast a^{2^2}=a^1\ast a^4$

$7=(111{)}_2$
$a^7$ = $a^{2^0+2^1+2^2}=a^{2^0}\ast a^{2^1}\ast a^{2^2}=a^1\ast a^2\ast a^4$

实际上$a^b$ 可以通过 $a^1,a^2,a^4,\cdot \cdot \cdot ，a^k$ 相乘组成（根据二进制每一个选或者不选 ）

取余的性质：

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL qmi(int a, int b, int p)
{
    LL ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)  ans = ans * a % p;
        b >>= 1;
        a = a * (LL)a % p;			
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    while (n -- )
    {
        int a, b, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);
        printf("%lld\n", qmi(a,b,p));
    }
    return 0;
}