找钱方式:递归，循环的解法

题目：给定一个金额m，以及几种钱币面值（比如1，2，5），求m有多少种找钱方式

解答：

a(m, c): 金额m的找钱方式，此时最大钱币面值为c

a(m, c) = sigma( a(m - k*c, next_c) ); k=0~m/c, next_c=比c小的下一个面值的钱币，比如c=5, next_c = 2

按照以上递推式，可以写出递归函数：

 

int exchangeWays(int money, int maxCurIndex = currencyNum - 1)
{
    if (money == 0) return 1;
    if (maxCurIndex == -1) return 0;
    int ways = 0;
    int maxCur = currency[maxCurIndex];
    for (int i = 0; i * maxCur <= money; i++)
        ways += exchangeWays(money - i * maxCur, maxCurIndex - 1);
    return ways;
}

这种解法的复杂度很高，O(m^(c的个数))

 

 

循环解法1：

有几个c就有几层循环，复杂度也是O(m^(c的个数))

 

int exchangeWaysIter(int money)
{
    int ways = 0;
    for (int i = 0; i * currency[2] <= money; i++)
    {
        money -= i * currency[2];
        for (int j = 0; j * currency[1] <= money ; j++)
        {
            money -= j * currency[1];
            for (int k = 0; k * currency[0] <= money; k++)//if currency[0] is 1, we can delete this loop
            {
                if (money == k * currency[0])
                    ++ways;
            }
            money += j * currency[1];
        }
        money += i * currency[2];
    }
    return ways;
}

 

重新观察递推式，

 

a(m,c) = a(m, pre_c) + a(m-c, pre_c) + a(m-2c, pre_c)...

那么，换一种思考方式，我们可以得到：

a(m, pre_c)会累计到a(m,c), a(m+c, c), a(m+2c, c)...上

看起来还是免不了两层循环：

foreach m cal a(m, pre_c):
    for i in (0, (money-m)/c): 
        a(m+i*c, c) += a(m_pre_c)

 

复杂度为O(m^2 * c的个数)，不够理想

那么，我们能否求解其他形式的递推式呢？

a(m,c)=a(m, pre_c) + a(m-c, c)

          =a(m, pre_c) + a(m-c, pre_c) + a(m-2c, c)

          = ...

可以看出，这个公式和我们的第一个是完全等价的。但是这个公式显然少了一层循环

那么实际上，通过正确的遍历方式，我们只需要一个长度为max_m的数组。

由于a(m,c)会用到pre_c和m-c的信息，所以遍历的时候，先求出pre_c的所有信息a(m, pre_c)，再根据m从小到大求a(m,c)。

图中，黄色的部分是pre_c，白色部分是c，绿色是正在计算的格子

所以，a(m, c) += a(m-c, c)就可以了。在下面的算法中，我使用的是让a(m-c, c)加到a(m, c)上，效果是一样的。

我们可以得出循环解法2：

 

 

int exchangeWaysIter2(int money)
{
    vector<int> ways(money + 1);//ways(i) : sum equals i, exchange ways
    ways[0] = 1;
    for (int i = 0; i < currencyNum; i++)
    {
        for (int j = 0; j + currency[i] <= money; j++)
        {
            if (ways[j])
                ways[j + currency[i]] += ways[j];
        }
    }
    return ways[money];
}

时间复杂度为O(m*(c的个数))，空间复杂度为O(m)

 

一下就降低了时间复杂度。