排序算法分析2--归并排序和快速排序

0.综述

在前面一节中，我们分析了三种时间复杂度为O(n²)的排序算法–冒泡排序、插入排序、选择排序，由于这三种算法的时间复杂度较高，因而适用于小规模数据的排序。而今天分析的两种排序算法适用于大规模数据的排序，因为它们的时间复杂度都是O(nlogn），它们分别是归并排序和快速排序。

1.归并排序(MergeSort)原理

归并排序利用了分而治之的思想，对于一个未排序的数组，归并排序将它从数组中间分为前后两个部分，然后分别对这两个部分进行排序，再将这两个有序的序列合并起来，最终使整个数组是有序的。

例如对于包含4,3,2,1,8,76,5这8个元素的序列，我们可以先将其分成4,3,2,1和8,76,5这两组序列，再将它们分为4,3/2,1/8,7/6,5这四组，然后在组内分别排序，得到3,4/1,2/7,8/5,6,然后将它们两两合并，得到1,2,3,4/5,6,7,8,在将这两个合并，最终就得到有序数组：1,2,3,4,5,6,7,8。

整个示意图如下：

分治算法一般用递归来解决，归并排序也是如此。对于递归程序，首先应该弄清楚它的递归边界，也就是终止条件，然后就是它的递归方程。由上面对归并排序的原理分析不难得出，归并排序的递归公式就是：

q = (p+r)/2
merge_sort(p,r)=(merge_sort(p,q),merge_sort(q+1,r)

归并排序的递归边界应该就是:

p>=r //p>=r时不再继续分解

其中merge_sort(p,r)表示给下标p到下标r直接的元素排序。这样就可以转换成分别给p->q和q+1->r两个区间内的元素进行排序的子问题，其中q是p和r之间中间的元素下标，也就是q=(p+r)/2。

2.归并排序代码实现

void merge(int*a,p,q,r)
{
	int *tmp = (int*)malloc((r - p + 1) * sizeof(int));
	if(!tmp)
		perror("malloc failed.")	
	int i, j, k;
	for (i = p, j = q + 1, k = 0; i <= q && j <= r;) 
	{
		if (a[i] <= a[j])
			tmp[k++] = a[i++];
		else
			tmp[k++] = a[j++];
	}
	if (i == q + 1) 
	{
		for (; j <= r;)
			tmp[k++] = a[j++];
	} 
	else {
		for (; i <= q;)
			tmp[k++] = a[i++];
	}
	memcpy(a + p, tmp, (r - p + 1) * sizeof(int));
	free(tmp);	
}

void merge_sort(int *a, int p, int r)
{
	int q;

	if (p >= r)
		return;

	q = (p + r) / 2;
	merge_sort(a, p, q);
	merge_sort(a, q + 1, r);
	merge(a, p, q, r);
}

其中merge函数完成的功能是将已经有序的两个序列，也就p->q以及q->r两个序列之间的元素合并到一个序列中。

3.归并排序算法分析

• 在归并排序算法中，我们可以设定merge函数中对于值相同的两个元素位置不改变，所以归并排序算法是一个稳定的排序算法。
• 归并排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。
• 由于归并排序算法的执行过程中，在合并有序数组的时候需要申请额外的内存空间，所以它不是原地排序算法并且它的空间复杂度为O(n)。

4.快速排序(QuickSort)算法原理

快速排序一般被简称为快排，它也用了分治的思想。快排的核心思想是若要对乱序数组中的下标p到r之间的元素排序，我们可以选择p到r之间任意的一个元素作为pivot分区点，将p->r这个序列分为两个部分，我们遍历p->r之间的元素，然后将小于pivot的放在pivot左边，将大于pivot的放在pivot右边，将pivot放在中间。

快排的递推公式如下:

quick_sort(p,r) = quick_sort(p,q-1)+quick_sort(q+1,r)

递推终止条件就是：

p>=r

5.快排代码

void swap(int *a, int *b)
{
	int tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}

int get_q(int *a, int p, int r)
{
	int i, j;
	i = j = p;

	for (; j < r; ++j)
	{
		if (a[j] < a[r]) 
		{
			if(i != j)
			{
				swap(a + i, a + j);
			}
			++i;
		}
	}
	swap(a + i, a + r);
	return i;
}

void quick_sort(int *a, int p, int r)
{
	int q;
	if (p >= r)
		return;
	q = get_q(a, p, r);
	quick_sort(a, p, q-1);
	quick_sort(a, q+1, r);
}

6.快排分析

• 快排是一个不稳定的排序算法，但是它是原地的排序算法。
• 快排的时间复杂度为O(nlogn)。