POJ-1201 Intervals（差分约束系统）

最新推荐文章于 2024-03-03 00:48:10 发布

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本文介绍了一种将差分约束系统转化为图上的最短路径问题的方法，通过实例详细阐述了如何利用该方法解决特定问题。具体地，讨论了如何选择最少数量的整数，使得每个指定区间内都包含至少指定数量的选中整数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

从 $0-50000$ 中选出尽可能少的整数，使区间 $[a_i,b_i]$ 内都有至少 $c_i$ 个数被选出。
$0 \leq a_i\leq b_i \leq 50000$
$1 \leq c_i \leq b_i-a_i+1$

思路

重点介绍差分约束系统，一种把关于 $n$ 个未知数， $m$ 条形如 $x_j-x_i\leq A$ 或 $x_j-x_i \geq A$ 的不等式，转化为图上的最短路或最长路问题，加以解决的算法。
以此题为例，我们先将范围转化为 $[1,50001]$ 。设 $s_i$ 为 $[1,i]$ 中选的数的个数。那原式求的就是 $(s_{50001}-s_0)_{max}$ 的最大值，所以我们需要利用不等式限制下界，则需建立若干条 $x_j-x_i\geq A$ 的不等式，并将其转化成 $i$ 到 $j$ 一条权值为 $A$ 的边。不等式中有“大大取大”的原则。那么我们不断的求 $i$ 到 $j$ 的最长路更新 $A$ 值。
接下来只用列出不等关系就行了，根据题意列出方程：
$s_{a_i}-s_{b_i-1} \geq c_i$
$0 \leq s_i-s_{i-1} \leq 1$
再化成 $x_j-x_i \geq A$ 的形式即可。

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define N 50003
typedef long long LL;
using namespace std;
template<const int maxn,const int maxm>struct Linked_list
{
    int head[maxn],to[maxm],nxt[maxm],cost[maxm],tot;
    void clear(){memset(head,-1,sizeof(head));tot=0;}
    void add(int u,int v,int w){to[++tot]=v,cost[tot]=w,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot;}
    #define EOR(i,G,u) for(int i=G.head[u];~i;i=G.nxt[i])
};
Linked_list<N,3*N>G;
int dis[N];bool vis[N];
void spfa(int s)
{
    memset(dis,0xc0,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int>q;
    while(!q.empty())q.pop();
    dis[s]=0;q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        EOR(i,G,u)
        {
            int v=G.to[i],w=G.cost[i];
            if(dis[v]<dis[u]+w)
            {
                dis[v]=dis[u]+w;
                if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    G.clear();
    FOR(i,1,n)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        G.add(a,b+1,c);
    }
    FOR(i,0,N-3)G.add(i+1,i,-1),G.add(i,i+1,0);
    spfa(0);
    printf("%d\n",dis[N-2]);
    return 0;
}