2014ACM/ICPC亚洲区西安站 F题 color(容斥原理)

最新推荐文章于 2020-11-15 21:12:51 发布

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本文介绍了一种利用组合数学解决特定计数问题的方法，即计算在n朵花排成一行，使用m种颜色进行染色，且相邻花朵颜色不同情况下，恰好使用k种颜色的方案数。通过数学公式和C++代码实现，详细解析了问题的求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接
题意：
n朵花排成一行，我们有m种颜色，可以给这些花涂色，保证相邻的花的颜色不同
问，最后恰好使用了k种颜色的方案数。
Orz博主
题解

//(m,k)*sigma((-1)^(k-i)*(k,i)*i*(i-1)^(n-1))
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int N=1000000+10;
const ll mod=1e9+7;
ll f[N],inv[N];
void C(ll n,ll m)//组合数
{
   f[0]=1LL;
   for(ll i=1LL;i<=m;i++)
   {
       f[i]=(f[i-1]*(n-i+1LL)%mod)*inv[i]%mod;
    //   cout<<f[i]<<endl;
     //  f[i]%=mod;
   }
}
ll quick(ll x,ll y)
{
    ll res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)res=res*x%mod;
        y>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return res;
}
void init()
{
    inv[1]=1LL;
    for(int i=2;i<=1000000LL;i++)
    {
        inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;//预处理出1~1e6对mod的逆元
    }
    //printf("%lld\n",inv[2]);
}
int main()
{
    init();
    int t;
    int cnt=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll n,m,k;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        C(m,k);
     //   cout<<f[1]<<' '<<f[2]<<endl;
        ll ans1=f[k];
         C(k,k);
        ll q=1LL;
        ll ans=0;
        for(ll i=k;i>=1LL;i--)
        {
            ans=(ans+(q*f[i]%mod*i%mod*quick((i-1LL),n-1LL)+mod)%mod);
            ans%=mod;
            q=q*(-1LL);
        }
        printf("Case #%d: ",cnt++);
        printf("%lld\n",(ans%mod*ans1%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}