逆元初体验
这次打模拟赛,碰到个数论水题,要不是洁神会两个公式,就凉凉了,回来之后赶紧补上知识盲区。
题目意思给一个n,一个k;求Cn_k + Cn_k+1 +…+Cn_n之和;答案取mod=1000000007;
n的大小是1e9,k是1e5;
首先还是考虑暴力,n至k之间最大1e9个Cn_i,超时;
但我们发现如果求的不是k-n,而是0-k的话,那就能过;
然后就有第一个公式:Cn_0 +Cn_1+…+Cn_n = 2^n;
然后答案sum(Cn_k)=2^n-sum(Cn-0)。(表示有点问题能看懂就行);
总体的算完了,那还有一个问题 Cn_i 怎么算?
因为n与k都特别大,取mod后会改变分子与分母的比值关系,但不先取mod的话又会因为值过大而爆long long int;
这里就有第二个公式,求逆元;
(a/b)%mod=(a∗inv[b])%mod;
同时 inv[b]=b^(mod-2);
这个公式将(a%mod/b%mod)与(a/b)%mod 联系在了一起
也许这就是数论把。
上代码
#include<iostream>
using namespace std;
int t;
long long int n,k,mod=1000000007,sum,fenzi[100007],fenmu[100007],ans;
long long int pow(long long int x,long long int n,long long int mod)
{
long long int res=1;
while(n>0)
{
if(n%2==1)
{
res=res*x;
res=res%mod;
}
x=x*x;
x=x%mod;
n>>=1;
}
return res;
}
int main(){
scanf("%d",&t);
for(int p=1;p<=t;p++){
ans=0;
scanf("%lld",&n);
scanf("%lld",&k);
fenmu[0]=1;
fenzi[0]=1;
for(int i=1;i<=k;i++){
fenmu[i]=(fenmu[i-1]*i)%mod;
fenzi[i]=(fenzi[i-1]*(n-i+1))%mod;
}
for(int i=0;i<k;i++){
ans=(ans+(fenzi[i]*pow(fenmu[i],mod-2,mod))%mod)%mod;
}
sum=pow(2,n,mod);
printf("Case #%d: %d\n",p,(sum-ans+mod)%mod);
}
return 0;
}