逆元与组合数求和-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Paispls/article/details/103426696

本文介绍了一种解决大规模组合数求和问题的方法，利用逆元和快速幂技巧，在模意义下计算从Cn_k到Cn_n的组合数之和。通过实例解析，展示了如何避免整数溢出，并给出C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

逆元初体验

这次打模拟赛，碰到个数论水题，要不是洁神会两个公式，就凉凉了，回来之后赶紧补上知识盲区。

题目意思给一个n，一个k；求Cn_k + Cn_k+1 +…+Cn_n之和；答案取mod=1000000007；
n的大小是1e9，k是1e5；
首先还是考虑暴力，n至k之间最大1e9个Cn_i，超时；
但我们发现如果求的不是k-n，而是0-k的话，那就能过；
然后就有第一个公式：Cn_0 +Cn_1+…+Cn_n = 2^n;
然后答案sum(Cn_k)=2^n-sum(Cn-0)。(表示有点问题能看懂就行);
总体的算完了，那还有一个问题 Cn_i 怎么算？
因为n与k都特别大，取mod后会改变分子与分母的比值关系，但不先取mod的话又会因为值过大而爆long long int;
这里就有第二个公式，求逆元；
(a/b)%mod=(a∗inv[b])%mod;
同时 inv[b]=b^(mod-2);
这个公式将（a%mod/b%mod）与（a/b）%mod 联系在了一起
也许这就是数论把。
上代码

#include<iostream>
using namespace std;

int t;
long long int n,k,mod=1000000007,sum,fenzi[100007],fenmu[100007],ans;

long long int pow(long long int x,long long int n,long long int mod)
{
    long long int res=1;
	while(n>0)
	{
	   if(n%2==1)	
	   {
	   	 res=res*x;
	   	 res=res%mod;
	   }
	   x=x*x;
	   x=x%mod;
	   n>>=1;
	}
	return res;	
}

int main(){
    scanf("%d",&t);
    for(int p=1;p<=t;p++){
        ans=0;
        scanf("%lld",&n);
        scanf("%lld",&k);
        fenmu[0]=1;
        fenzi[0]=1;
        for(int i=1;i<=k;i++){
            fenmu[i]=(fenmu[i-1]*i)%mod;
            fenzi[i]=(fenzi[i-1]*(n-i+1))%mod;
        }
        for(int i=0;i<k;i++){
            ans=(ans+(fenzi[i]*pow(fenmu[i],mod-2,mod))%mod)%mod;
        }
        sum=pow(2,n,mod);
        printf("Case #%d: %d\n",p,(sum-ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}