两句话讲解BWT（Burrows Wheeler Transform）核心

前言

BWT本质是一种无损块排序 Block-sorting Lossless算法，仅对数据进行变换，并不会进行压缩（大佬的英文ppt介绍）
但是它能使得，在使用同一种压缩算法的前提下，变换后的字符串大概率会得到更高的压缩率，所以使得由其原理衍生出来的许多算法都应用于数据压缩领域中

至于其具体操作步骤、原理讲解的文章已有很多，我这里就不再赘述了，仅推荐一篇约翰斯·霍普金斯大学怀廷工程学院的ppt（英文），其中还讲解了 BWT 与 FM-Index 的后缀数组的联系，对于想了解BWT在其他数据结构中的应用或FM-Index原理的同学应该很有帮助

核心理念

在此我将其核心拆分成2个W

1. What’s block-sorting lossless?（变换原理）

一句话：

BWT的结果，是利用已知所有出现字符及每个字符的前关系，按照字典序排列所有字符的顺序，输出每个字符对应前一个字符的结果
换句话说：
BWT的结果包含了还原成原序列的所有信息

正常来说排序就会丢失掉原来的顺序信息，这只有一条与原序列等长的结果，怎么能还原呢？
拆分理解：

1. 拿到字符串的同时，我们就能知道有哪些字符，以及每个字符出现的次数
2. 如果把每个字符都看成独一无二的，那么可把字符串想象成一条单向链表，每个字符都指向其唯一的前置字符（前后关系 前关系）
3. 如果我们有办法在排序后的字符串中保留这种关系 ，那么再加上最后一个字符（单向链表的头），就可以推出原来的整个字符串（类似链表的遍历）
4. 关系拆分：
   4.0 利用BWM（BW矩阵）将这种关系拆分成两部分：在F列中每个字符与L列中的字符（前置字符）的对应关系、在L列中每个字符与其在F列中的位置的对应关系
   4.1 ⭐前一部分不用刻意保留：因为结果就是L列，而排序BWM得到的F列必定是所有字符的字典序排列，也就是由第1点我们就已经能重构出F列，即F列与L列的对应关系已经得到了
   注：这里就是BWT与后缀数组的联系：BWT(i) = T[SA[i] - 1]
   （BWT结果的第i个字符位置，等于后缀数组中第i项SA[i]对应位置减一）
   4.2 ⭐后一部分也不用刻意保留：在L列中字符的顺序由它们对应的后置字符顺序决定，而在F列中它们的顺序也是由它们对应的后置字符顺序决定的，这种决定关系在整个串中都是统一的（right-context sorted），这保证了每个字符在所有该种字符中的相对位置在F列与L列中是一样的（稳定）
   注：这里就是LF-mapping：LF(i) = C(T[i]) + BWT.rank(T[i], i)
   （T[i]字符在F列的位置，等于小于该字符的字符数，加上L列到i位置为止该字符出现次数）
   4.3 结束字符$的加入，保证了BWT结果的第一个字符一定是原字符串的最后一个字符（链表开始）

至此，无额外信息的 （其实并不是无额外信息，只是省略掉了F列默认按字典序排列的处理方式） 无损排序就此完成（完结撒花 ο(=•ω＜=)ρ⌒☆

名词解释：
block-sorting：因为BWM排序时，对于每种字符来说，是把它们对应的所有前一个字符集合，按其后一个字符的顺序进行排序，所以可理解为：一种字符为一个block，每个block内进行排序，再将所有block按首字母字典序排序
lossless：由上面可知，字符间对应关系并未丢失，每个字符都能有且仅有一次地被遍历到，整个字符串能还原，就是无损

2. Why does it improve compression ratio?（提升压缩率原理）

一句话：

block-sorting，相当于在全局范围内，对同一个字符的所有前置字符进行了一次富集

利用排序，F列按照字典序排列
如果某两个字符的一个组合AB在原字符串中经常出现，那么在L列中，A将从全文的出现范围被“聚集”到L列中B出现的位置对应的范围中
由此，后续压缩时，字符串的局部性就能更好地被利用