初级动态规划

目录

最大和上升子序列

执行任务

任务1

任务2

有几种方案？

数的划分

放苹果

排队问题

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最大和上升子序列

样例输入

 6
 3 7 4 2 6 8

样例输出

 21

思路： 按样例即 3 4 6 8  

思路就是：从 i 向 j 跳

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n;scanf("%d",&n);
	int a[1005];
	int f[1005]; // 以下标为i的数作为结尾的子序列最大和为f[i] 
	for(int i = 1;i<=n;++i){
		scanf("%d",&a[i]);
		f[i] = a[i];
	}
    // 从 i 向 j 跳 
	for(int i = 1;i<=n;++i){
		for(int j = i+1;j<=n;++j){
			if(a[j]>a[i]){
				f[j] = max(f[j],f[i]+a[j]);
			}
		}
	}
	
	int ans = 0;
	for(int i =1;i<=n;++i){
		ans = max(ans,f[i]);
	}
	printf("%d\n",ans);
	
	return 0;
}

执行任务

任务1

你有n个任务，其中第i个任务，在si开始，ei时刻结束，如果做这个任务，你能获得wi的收益。

但是你在一个时刻只能做一个任务，问选择哪些任务，能让你的收益尽量大。

注意：你在上一个任务结束后马上开始下一个任务是可以的。

样例输入

 3
 1 3 100
 2 4 199
 3 5 100

样例输出

 200

ei 最大值为1000

思路：任务只能在规定的时段开始，从最开始枚举时间。 遍历所有的任务，找到所有能从该时段开始执行的任务

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int n; 
int f[1005];
int main(){
	cin>>n;
	int a[1005],b[1005],w[1005];
	for(int i = 1;i<=n;++i)scanf("%d %d %d",&a[i],&b[i],&w[i]);
	
	// f[i]: i时刻最大的收益 
	for(int i = 1;i<=1000;++i){
		f[i] = max(f[i],f[i-1]);// i时刻 不休息和休息 
		for(int j = 1;j<=n;++j){
			if(a[j]==i){
				f[b[j]]=max(f[b[j]],f[i]+w[j]);
			}
		}
	}
	printf("%d\n",f[1000]);
	return 0;
}

任务2

Kimi同学最近迷上了一款通过执行一系列小任务来获取积分的游戏。当然，这些积分是可以兑换礼物的。
在该游戏中，每一个小任务都需要10分钟时间来完成，且每个小任务都设有一个截止时间，任务的结束时间不能大于所设的截止时间。如果没有在规定的截止时间内完成，则任务失败。每成功完成一个小任务都可以获得一定的积分，每个小任务所对应的积分值不一定相同。
现在给出每一个小任务的截止时间和完成该任务所获得的积分值。你能否编写一个程序计算出Kimi最多可以获得的积分为多少？

样例输入 

5
20 5
30 10
25 8
15 15
10 6

样例输出 

33

分析：这个是可以把任务拆分开来做的，比如先做5分钟任务1，再做10分钟任务2，再回过头去做任务1。

思路：可以以最后的截止时间向前完成任务。但一个时段只能完成一个任务，如果一个时段有多个任务的话，完成回报最高的任务，其他的任务堆积下来，看看能不能在时间向前推进时完成。

为什么要从最后的截止时间向前推进呢？ 因为如果是从一开始向后推进的话：到了截止时间，即使有起始的任务堆积下来，那就不能完成了。而如果是从后往前的话，堆积下来的任务是还没到截止时间的。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1005;
priority_queue<int>p;
queue<int>q[N];
ll ans;
int i;
int n,x,y;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        q[x/10].push(y);
        i=max(i,x/10);//最大时间段
    }
    do{
        while(!q[i].empty()){
            p.push(q[i].front());
            q[i].pop();
        }
        // 一个时段只做一件事 
        if(!p.empty()){
            ans+=p.top();
            p.pop();
        }
    }while(--i);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

有几种方案？

数的划分

题目描述

使用递归编写一个程序，求一个正整数n的所有划分个数。 例如，输入3，输出3；输入4，输出5。

样例输入 

 3
 4

样例输出 

 3     
 5     

分析：

3 ： 111 12 3

4 ： 1111 112 13 4 22

思路：

设 f[ i ][ j ]的含义为： 将 i 分成 j 份

i分成j份，可分为两种情况：

1、这 j 份里，至少有一个1

2、全集减去第一种情况，那就是这 j 份 全部都是 2 及以上。都是2以上的话，将这 j 份全都减去一个 1 是不影响 结果的。

所以，递推公式为：

f [ i ][ j ] = f [ i - 1 ] [ j -1] + f [i - j] [j]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int n;
int f[1005][1005];
int main() {
    while(~scanf("%d",&n)){
    	memset(f,0,sizeof(f));
    	f[0][0] = 1; // 0分成0份也是一种分法 
    	// f[i][j] 把 i 划分成 j 份的分法 
    	for(int i = 1;i<=n;++i){
    		for(int j = 1;j<=n;++j){
    			if(i<j)f[i][j] = 0;
    			// j份里至少有1份1，或者每份都大于等于2 
    			else f[i][j] = f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
    		}
    	}
    	int ans = 0;
    	for(int i = 1;i<=n;++i){
    		ans += f[n][i];
    	}
    	printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

放苹果

分析：与数的划分是一样的，只不过数是大于等于1的，而盘子是可以为空的

数的划分：

①  至少有一个1 

②  全都是2以上

放苹果：

① 至少有一个是空盘

② 每个盘子都有一个苹果

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int work(int m,int n){// m个苹果放进 n 个盘子 
	if(m==0||n==1)return 1; // m=0 :没有苹果了，是一种放法  
    // n=1 : 只有一个盘子，那只能把所有苹果都放在这个盘子上，也是只有一种放法
	if(m<n)return work(m,m);
	else return work(m,n-1)+work(m-n,n);
} 
int main(){
    int m,n;
	while(~scanf("%d %d",&m,&n)){ // 如果是多组输入，可使用记忆化搜索
		printf("%d\n",work(m,n));
	}
    return 0;
}

排队问题

X星最近来了一位超人气魔术师，火爆之极，导致魔术的现场表演活动一票难求。
已知魔术现场表演活动的门票需要1X星币，现在有N个（N为偶数）X星人前往购买，其中刚好有一半人(N/2)携带了一个面值为1的X星币，还有一半人(N/2)携带了一个面值为2的X星币。
由于工作的疏忽，魔术现场表演活动的售票处在购票之前居然没有钱，对，忘记准备零钱了。
你能否编写一个程序，统计这N个X星人有多少种不同的排队方式，可以让售票处避免出现没有钱找的尴尬局面。

反思：当时想的是，新增了两个人，那假设这两个人都排在末尾，那就是 f[i] = f[i-2] 了，还有1可以插入到前面去，该怎么插呢...一直在想...

分析：

设 f[ i ][ j ]的含义为： 这个队伍有 i 个 1元的人， j 个 2 元的人，满足条件的个数。

所以 f [ i ][ j ] = f [ i - 1 ][ j ] + f[ i ][ j-1 ]    

即，拿1元的在末尾，或者拿2元的站末尾。

这题的数据是说 m = n ,其实也可以有不用两数相等。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
ll dp[35][35];
int main(){
	dp[0][0] = 1;
	for(int i = 0;i<=30;++i){
		for(int j = 0;j<=30;++j){
			if(i<j)dp[i][j] = 0;
			else if(j==0)dp[i][j] = 1;
			else dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
		}
	}
	int n;scanf("%d",&n);
	printf("%lld",dp[n>>1][n>>1]);	
	return 0;
}