香农密码理论汇总:完善保密性

本文深入探讨了数学概率论的基础概念,包括条件概率、联合概率、贝叶斯定理及独立变量的定义。同时,文章详细解释了先验概率与后验概率的概念,并通过实例阐述了完善保密性在密码学中的应用,强调了密钥、密文和明文空间大小的重要性。

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数学基础备查备忘

条件概率:
P[x∣y]=P(xy)P(y) P[x|y]=\frac{P(xy)}{P(y)} P[xy]=P(y)P(xy)
联合概率和条件概率
P[xy]=P[x∣y]P[y]=P[y∣x]P[x] P[xy]=P[x|y]P[y]=P[y|x]P[x] P[xy]=P[xy]P[y]=P[yx]P[x]
贝叶斯定理
P[x∣y]=P(x)P[y∣x]P(y) P[x|y]=\frac{P(x)P[y|x]}{P(y)} P[xy]=P(y)P(x)P[yx]
独立的变量定义
∀x∈X,y∈Y,P(xy)=P(x)P(y),P(x)=P[x∣y] \forall x\in X,y\in Y,P(xy)=P(x)P(y),P(x)=P[x|y] xX,yY,P(xy)=P(x)P(y),P(x)=P[xy]
先验概率:P(x)P(x)P(x)
后验概率:P[x∣y]P[x|y]P[xy]

完善保密性

定义

∀x∈P,y∈C,有P[x∣y]=P(x) \forall x\in P,y\in C,有P[x|y]=P(x) xP,yC,P[xy]=P(x)
也就是说给定密文,明文的后验等于先验概率.
含义:

  • x和y有统计独立关系.
  • 明密文互信息=0
  • 无法根据分析y推导出x,也就是说具有该性质的密文不应该透露任何明文的信息.

验证方法

  • 对于每个明文计算P[X=x]P[X=x]P[X=x],也就是对每个明文计算其使用概率.
  • 计算P[x∣y]P[x|y]P[xy],也就是确定该密文的条件下确认明文为x的概率,共计算xy条.(由于攻击时是用密文推导明文,所以密文是条件,明文是结果.)
  • 如果两者相等(对于一个明文x而言)则证明有完善保密性.
  • P[x∣y]P[x|y]P[xy]的计算方法:贝叶斯公式P[x∣y]=P(x)P[y∣x]P(y)P[x|y]=\frac{P(x)P[y|x]}{P(y)}P[xy]=P(y)P(x)P[yx]

P(y)P(y)P(y)的计算:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
也就是说是所有可能翻译至密文y的密钥概率乘以使用该密钥时导致密文为y的明文被选中的概率的加和.

P[y∣x]P[y|x]P[yx]的计算
在这里插入图片描述
也就是选择任一个可以从明文x转换为密文y的密钥的概率.

最后计算P[x∣y]P[x|y]P[xy]P(x)P(x)P(x)的关系.

Example

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

Extension

  1. 完善保密性的条件等价于P[x∣y]=P(y)P[x|y]=P(y)P[xy]=P(y).
  2. 要保持完善保密性,应做到密钥空间大于密文空间大于明文空间.
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