【题目】NowCoder-1100B 乃爱与城市拥挤程度

题目大意

给出一棵$n$个结点的树以及一个常数$k$，对于树中的每个结点$v$，求出：

1. 到点$v$的距离不超过$k$的点的个数。
2. 若点$x$距离点$v$不超过$k$，则$v,x$路径上的所有点的权值加$1$。求距离$v$不超过$k$的点的权值的乘积。答案对$10^9+7$取模。

$n⩽10^5$，$k⩽10$。

---

思路

应该能看出是树形DP。
首先要考虑到贡献的计算。在询问某个点$u$的时候，对于$u$本身，其子树内外的贡献都要计算；对于$u$下方的点，只计算其子树内的贡献；对于$u$子树外的点，只计算其子树外的贡献。因此DP状态分子树内外两种情况讨论。

讨论的时候用$(u,v)$表示一条父子边，其中$u$是父亲。

先解决第一个问题。

$f[u][i][1]$表示点$u$子树内距离$u$不超过$i$的点的个数（包括点$u$本身），$f[u][i][0]$表示点$u$子树外距离$u$不超过$i$的点的个数（不包括点$u$本身）。
对于$f[u][i][1]$，既然到$u$的距离为$i$，那么到$u$的某个儿子$v$的距离一定是$i-1$，可以累计儿子的贡献，再加上$u$本身，得到第一个方程：
$$f[u][i][1]=(\sum f[v][i-1][1])+1$$

对于$f[v][i][0]$，子树外的点到父亲$u$的距离也一定是$i-1$，并且既可以来自$u$的子树外，也可以来自$u$的其它儿子。既然是其它儿子，就要减去$u$这棵子树的贡献，得到第二个方程：
$$f[v][i][0]=f[u][i-1][0]+f[u][i-1][1]-f[v][i-2][1]$$

最终答案为每个结点子树内外的贡献之和，由于结点本身的贡献只在子树内被计算，不需要去重。不难发现这个答案就是第二个问题中的点权。
$$an{s}_1[u]=f[u][k][0]+f[u][k][1]$$

然后是第二个问题。

$g[u][i][1]$表示点$u$子树内距离$u$不超过$i$的点（包括点$u$本身）在到达点$u$的路径上对经过的点的权值加$1$后，点$u$子树内距离$u$不超过$i$的点的权值的乘积。$g[u][i][0]$的含义同理，就不费口舌叙述了。

对于$g[u][i][1]$，即点$u$子树内的点，同样可以累计儿子的贡献，再乘上点$u$本身的权值。点$u$子树内能到达点$u$的点一共有$f[u][i][1]$个，每一个点都会对点$u$的权值加$1$，因此点$u$的权值就为$f[u][i][1]$，得到第三个方程：
$$g[u][i][1]=(\prod g[v][i-1][1])\cdot f[u][i][1]$$

对于$g[v][i][0]$，即点$v$子树外的点，同样可以先到父亲$u$，累计$u$的贡献，再除去$v$这棵子树的贡献，得到第四个方程：
$$g[v][i][0]=\frac{g[u][i-1][0]\cdot g[u]][i-1][1]}{g[v][i-2][1]}$$

如果你列出的方程是上面这个样子，你就完了。
第四个方程有非常严重的错误。我们试图用$g[u][i-1][0]\cdot g[u][i-1][1]$计算所有距离$u$不超过$i-1$的点到达点$u$后产生的点权的乘积，显然子树内外的贡献都要计算。但此时点$u$的点权被拆成了两部分：来自子树内的$f[u][i-1][1]$和来自子树外的$f[u][i-1][0]$。首先$g[u][i-1][0]$根本就不包含点$u$来自子树外的贡献$f[u][i-1][0]$；即使$g[u][i-1][0]$包含了$f[u][i-1][0]$，上面的方程也是把点$u$的两部分权值相乘，但是显然这两部分应该是相加的关系。（不清楚的可以手动模拟）
于是这个方程中点$u$的权值是错误的。由于我们知道这个错误的权值是$f[u][i-1][1]$，可以把这个错误的权值除掉，把正确的权值乘上去，注意仍然要减去点$v$这棵子树的贡献。
$$\begin{array}{rl}g[v][i][0]& =\frac{g[u][i-1][0]\cdot g[u]][i-1][1]}{g[v][i-2][1]}\cdot \frac{f[u][i-1][0]+f[u][i-1][1]-f[v][i-2][1]}{f[u][i-1][1]}\\ & =\frac{g[u][i-1][0]\cdot g[u]][i-1][1]}{g[v][i-2][1]}\cdot \frac{f[v][i][0]}{f[u][i-1][1]}\end{array}$$

同理，最终统计答案的时候也不能直接把子树内外的贡献相乘了，还是需要先把错误的权值除掉，乘上正确的权值。
$$an{s}_2[u]=g[u][k][0]\cdot g[u][k][1]\cdot \frac{f[u][i-1][0]+f[u][i-1][1]}{f[u][i-1][1]}$$