BZOJ 1670 [Usaco2006 Oct]Building the Moat护城河的挖掘

本文介绍了一种计算围绕多个点的最短封闭路径的方法，即护城河问题。该问题通过构建凸包解决，确保了所有点都被一条连续的线包围，且这条线的总长度达到最小。文章提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
为了防止口渴的食蚁兽进入他的农场，Farmer John决定在他的农场周围挖一条护城河。农场里一共有N(8<=N<=5,000)股泉水，并且，护城河总是笔直地连接在河道上的相邻的两股泉水。护城河必须能保护所有的泉水，也就是说，能包围所有的泉水。泉水一定在护城河的内部，或者恰好在河道上。当然，护城河构成一个封闭的环。挖护城河是一项昂贵的工程，于是，节约的FJ希望护城河的总长度尽量小。请你写个程序计算一下，在满足需求的条件下，护城河的总长最小是多少。所有泉水的坐标都在范围为(1..10,000,000,1..10,000,000)的整点上，一股泉水对应着一个唯一确定的坐标。并且，任意三股泉水都不在一条直线上。以下是一幅包含20股泉水的地图，泉水用”*”表示.图中的直线，为护城河的最优挖掘方案，即能围住所有泉水的最短路线。路线从左上角起，经过泉水的坐标依次是：(18,0),(6,-6),(0,-5),(-3,-3),(-17,0),(-7,7),(0,4),(3,3)。绕行一周的路径总长为70.8700576850888(…)。答案只需要保留两位小数，于是输出是70.87。

【题目分析】
凸包模板题，感觉operator用起来真方便

【代码】

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <cmath>
using namespace std;
struct P{
    int x,y;
}p[5001];
P s[5001];
int top=0;
double ans=0;
inline long long dis(P a,P b)
{return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);}
inline P operator-(const P &a,const P &b)
{return (P){a.x-b.x,a.y-b.y};}
inline long long operator*(const P &a,const P &b)
{return a.x*b.y-a.y*b.x;}
inline bool operator<(const P &a,const P &b)
{
    long long x=(a-p[1])*(b-p[1]);
    if (x==0) return dis(p[1],a)<dis(p[1],b);
    else return x<0;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
    int t=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) if (p[i].y<p[t].y||(p[i].y==p[t].y&&p[i].x<p[t].x)) t=i;//扫描一遍，找到起始点 
    swap(p[1],p[t]);
    sort(p+2,p+n+1);
    s[++top]=p[1];s[++top]=p[2];
    for (int i=3;i<=n;++i)
    {
        while (top>=2&&(s[top]-s[top-1])*(p[i]-s[top-1])>=0) top--;
        s[++top]=p[i];
    }
    s[top+1]=p[1];
    for (int i=1;i<=top;++i) ans+=sqrt(dis(s[i],s[i+1]));
    printf("%.2lf\n",ans);
}