第六章 数学问题 ----------6.13 素数的筛法（第十万零二个素数）

素数定理：

       给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。也就是说在不大于n的自然数里，总共的素数为 n/lgn。

筛法：

　　用筛法求素数的基本思想是(本质上也能算是一种预处理)：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列， 1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。如有：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30。

　　1不是素数，去掉。剩下的数中2最小，是素数，去掉2的倍数，余下的数是：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 。剩下的数中3最小，是素数，去掉3的倍数，如此下去直到所有的数都被筛完，求出的素数为：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29。

 

题目：第十万零二个素数

　　请问，第100002(十万零二)个素数是多少？   请注意：“2” 是第一素数，“3” 是第二个素数，依此类推。

　　代码：

public class 第十万零二个素数 {

    public static void main(String[] args) {
        long now = System.currentTimeMillis();
        // nlognlogn
        f(100002);
        System.out.println("耗时：" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms");
        
        /*============Java自带的api==========*/
        now = System.currentTimeMillis();
        BigInteger bigInteger = new BigInteger("1");
        for (int i = 1; i <= 100002; i++) {
            bigInteger = bigInteger.nextProbablePrime();
        }
        System.out.println(bigInteger);
        System.out.println("耗时：" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms");
        
        /*==========朴素解法=========*/
        now = System.currentTimeMillis();
        int count = 0;
        long x = 2;
        while(count<100002){
            if (isPrime(x)) {
                count++;
            }
            x++;
        }
        System.out.println(x-1);
        System.out.println("耗时：" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms");
    }
    public static boolean isPrime(long num){
        for (int i = 2; i*i <= num; i++) {
            if (num%i==0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    /**
     * 
     * @param N 第N个素
     */
    private static void f(int N){
        int n = 2;
        // 自然数n之内的素数个数n/ln(n)
        // 得到整数范围
        while(n/Math.log(n)<N){
            n++;
        }
        int []arr = new int[n];
        int x = 2;
        while(x<n){
            if (arr[x]!=0) {
                x++;
                continue;
            }
            int k=2;
             //对每个x，我们从2倍开始，对x的k倍，全部标记为-1
            while(x*k<n){
                arr[x*k] = -1;
                k++;
            }
            x++;
        }
        // System.out.println(arr);
        // 筛完之后，这个很长的数组里面非素数下标对应的值都是-1
        int sum = 0;
        for (int i = 2; i < arr.length; i++) {
            // 是素数，计数+1
            if (arr[i] == 0) {
                // System.out.println(i);
                sum++;
            }
            if (sum == N) {
                System.out.println(i);
                return;
            }
        }
    }

}

　　结果：