可怜的小猪

刷LeetCode刷到这道题，不由的感叹“妙啊”！
题目是hard类型的，看完题解后感觉就是easy类型的。

题目描述

有 buckets 桶液体，其中 正好 有一桶含有毒药，其余装的都是水。它们从外观看起来都一样。为了弄清楚哪只水桶含有毒药，你可以喂一些猪喝，通过观察猪是否会死进行判断。不幸的是，你只有 minutesToTest 分钟时间来确定哪桶液体是有毒的。
喂猪的规则如下：
选择若干活猪进行喂养，可以允许小猪同时饮用任意数量的桶中的水，并且该过程不需要时间。小猪喝完水后，必须有 minutesToDie 分钟的冷却时间。在这段时间里，你只能观察，而不允许继续喂猪。
过了 minutesToDie 分钟后，所有喝到毒药的猪都会死去，其他所有猪都会活下来。
重复这一过程，直到时间用完。
给你桶的数目 buckets ，minutesToDie 和 minutesToTest，返回在规定时间内判断哪个桶有毒所需的 最小 猪数。

给几个示例

示例 1：
输入：buckets = 1000, minutesToDie = 15, minutesToTest = 60
输出：5

示例 2：
输入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 15
输出：2

示例 3：
输入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 30
输出：2

分析

最开始我想着应该让每次死去的小猪最小化，把桶分组，每桶液体就给一头小猪喝，比如1000桶如果给x只小猪喝，可以分成x+1组，幸运的话还能所有小猪不死。但是喂液体的次数受限，很容易不能在规定的时间 minutesToTest内完成任务。
我百思不得其解，瞥了一眼题解，豁然开朗。这简直就是近乎要让所有的小猪死去，充分利用上每一只小猪，确实是像题目写的那样，是可怜的小猪。

每一只猪有多少种状态
如果minutesToTest / minutesToDie = 0，那么每一只猪只有一种状态，即存活。
如果 minutesToTest / minutesToDie = 1，那么每一只猪有两种状态，存活或者死亡。

如果 minutesToTest / minutesToDie = 2，那么每一只猪有三种状态，存活、在第一次测试后死亡、在第二次测试后死亡。

进一步而言，如果 minutesToTest / minutesToDie = 3，那么每一只猪有三种状态，存活、在第一次测试后死亡、在第二次测试后死亡、在第三次测试后死亡。

因此每一只猪的状态数量为 states = minutesToTest / minutesToDie + 1。

x 只 2 状态的猪最多可以测试多少个水桶？
1 只猪可以测试 1 个水桶：让它喝下桶 1 的水，如果存活说明 2 号桶是毒药，如果死亡说明 1 号桶是毒药。

如果超过三只小猪，我已无法用三维空间表示出来了。2状态的小猪，让每一只喝掉一半的液体(每一只小猪死去的概率是二分之一，这个概率非常乐观)。

x 只 s 状态的猪最多可以测试多少个水桶?
下图是一只4状态的小猪，一只小猪可以测四桶，

2只小猪可以测 4² 桶。

4状态的小猪，最多可以喝三次，没死还得接着喝。每次让每一只喝掉四分之一的液体(每只小猪死去的概率是四分之三，同情小猪)。

x 只 s 状态的猪最多可以测试$s^x$桶，因此我们需要找到最小的 x，那么每一只猪只有一种状态，即存活。使得$s^x\ge bucket$，那么每一只猪只有一种状态，即存活。其中 s = minutesToTest / minutesToDie + 1表示每只猪的状态数。因此答案$x>lo{g}_{s}buckets$。根据换底公式，我们可以得到$$x\ge \frac{logbuckets}{logs}$$

代码

代码就很简单了

int poorPigs(int buckets, int minutesToDie, int minutesToTest) {
        int states = minutesToTest / minutesToDie + 1;
         return ceil(log(buckets) / log(states));
}

时间复杂度：O(1)。
空间复杂度：O(1)。
完结！