486. 预测赢家

原题链接：https://leetcode-cn.com/problems/predict-the-winner/description/

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该题，在解法上可以使用递归与动归两种思路解决，而这里选择的使用动归来实现。

首先要注意到题目中，假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化，并且玩家 1 为先手。

public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
    int[][] dp = new int[nums.length][nums.length];
    dp[dp.length - 1][dp.length - 1] = nums[nums.length - 1];
    for (int left = dp.length - 2; left >= 0; left--) {
        for (int right = left; right < dp.length; right++) {
            if (left == right) {
                dp[left][right] = nums[left];
            } else {
                int pickLeft = nums[left] - dp[left + 1][right];
                int pickRight = nums[right] - dp[left][right - 1];
                dp[left][right] = Math.max(pickLeft, pickRight);
            }
        }
    }
    return dp[0][nums.length - 1] >= 0;
}

双方拿到到分数的总和是一定的，这里的动态规划算法考虑的是两者的差值。也就是说，玩家 1 拿到的分数总和减去玩家 2 拿到的分数总和，如果最后大于0就获胜。

上面即为 AC 过的算法，其中对于辅助数组 dp[left][right]，有转移方程：

dp[left][right] = max(
    nums[left] - dp[left + 1][right], nums[right] - dp[left][right - 1])

这就表示玩家 1 和玩家 2 在区间 [left,right] 中，玩家 1 总得分与玩家 2 总得分的差值。其中 dp[left][right] 的值又是动态依赖于 dp[left + 1][right] 与 dp[left][right - 1] ，具体的关系如上，如果此时玩家 1 选择最左边的分数，则玩家 2 就只能从最左边 + 1 到最右边的区间去动态选择来，此时玩家 2 也会根据剩余的区间选择最优的答案；当玩家 1 选择最右边的分数时，亦是如此。

当 玩家 1 选择最左边的分数 时，有 nums[left] - dp[left + 1][right]，这里表示玩家 1 选择了最左边的分数 nums[left]，然后减去玩家 2 在剩余区间 [left - 1][right] 中获得的最优选择时与玩家 1 总得分的差值 dp[left + 1][right]，此时就是玩家 1 与玩家 2 在区间 [left,right] 两者相差分别总得分的差值了。其中，被减去的 dp[left + 1][right] （或者 dp[left][right - 1] ）是动态的代表 玩家 1 与 玩家 2 二者互斥其一的 与对方玩家的差值。

对于上面那一段，肯能会有疑惑，下面以一个具体的例子讲解：
对于数组 {1,2,3}，有：

dp[1,3] = max(1 - dp[2][3], 3 - dp[1][2])

dp[2,3] = max(3 - dp[2][2], 2 - dp[3][3])
        = max(3 - 2, 2 - 3)
        = 3 - 2

dp[1,2] = max(1 - dp[2][2], 2 - dp[1][1])
        = max(1 - 2, 2 - 1)
        = 2 - 1
则
dp[1,3] = max(1 - (3 - 2), 3 - (2 - 1))
        = max(1 - 3 + 2, 3 - 2 + 1)

1 - (3 - 2) 进一步变为 1 - 3 + 2 其中中的正符号对应的数 1 和 2 即为玩家 1 的选择，负符号对应的数 3 即为玩家 2 的选择，1 - 3 + 2的结果即为玩家 1 总得分减去玩家 2 总得分的差值，且需要注意在 max(1 - dp[2][2], 2 - dp[1][1]) 式中，dp[2][2] 代表在整体数组{1,2,3} 的部分区间 {2} 中玩家 2 总分减去玩家 1 总分的差值，因为在整体数组 {1,2,3} 中的部分区间{1,2} 中玩家 1 选择了 1 之后，玩家 2 就只剩 2 可以选择了，此时 dp[2][2] 是针对于玩家 2 来说的。

但是对于如果数组整体只有 {1,2} 时，此时 dp[2][2] 是针对玩家 1 的。