sgu 441. Set Division

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本文介绍了一种通过矩阵快速幂算法解决大n小k情况下第二类斯特林数问题的方法。斯特林数是组合数学中的一种重要概念，在计算机科学、数学等领域有着广泛的应用。通过将问题转化为矩阵运算并运用快速幂技术，可以高效地计算出所需数值。这种方法特别适用于处理大规模数据和复杂组合问题。

此题明显是求第二类斯特林数，但是由于n 很大，k 比较小，由于斯特林数是递推的关系，所以可以考虑矩阵快速幂。

s（n, k ） = s( n -1 , k-1 ) + k * ( n -1 , k)

行向量是 {s( 1,1 ) , s(1,2) ,s(1,3)......,s(1,k)}

快速幂的矩阵（k * k）如下格式（6*6）

【1 1 0 0 0 0 】

【0 2 1 0 0 0 】

【0 0 3 1 0 0 】

【0 0 0 4 1 0 】

【0 0 0 0 5 1】

【0 0 0 0 0 6】

快速幂之后的第一行第 k列的结果就是答案。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define mod 2007
struct matrix
{
    long long value[11][11];
    int x;
    int y;
    void zero()
    {
        for(int q=1;q<11;q++)
            for(int w=1;w<11;w++)
                value[q][w]=0;
    }
    void one()
    {
        for(int q=0;q<11;q++)
            value[q][q]=1;
    }
    void set(int t){
        for(int i =1;i<=t;i++){
            value[i][i] = i;
        }
        for(int i=2;i<=t;i++){
            value[i-1][i] =1;
        }
    }
    matrix operator*(matrix m1)
    {
        matrix h;
        h.zero();
        for(int q=1;q<11;q++)
            for(int w=1;w<11;w++)
                for(int e=1;e<11;e++)
                {
                    h.value[q][w]+=value[q][e]*m1.value[e][w];
                    h.value[q][w]%=mod;
                }
        return h;
    }
}mm,ma;
matrix pow(matrix m,long long a)
    {
        matrix h;
        if(a==0)
        {
            h.one();
            return h;
        }
        if(a==1)
            return m;
        if((a&1)==0)
            return pow(m*m,a>>1);
        else
            return pow(m*m,a>>1)*m;
    }
int main(){
   int n, k ;
   scanf("%d%d",&n,&k);
   mm.zero();
   mm.set(k);
   mm = pow(mm,n-1);
   cout << mm.value[1][k]<<endl;
   
    return 0;
}