hdu 1028 Ignatius and the Princess III 母函数

题意是 求数字n 可以拆成多少种不同的等式，等式中顺序不计。

这种无序的组合方式用母函数解决，如果是有序的话就用组合计数可可以求得一个公式 2^(n-1).

这个问题可以转化成这样一个问题：

      给出1 到n ，这n种不同的数，每个数可以使用无限次，问有多少种组合方式可以凑出n。这样就转化成了一个简单的母函数问题。

     G( x )  = (1 + x^1 + x^2 +x^3 + .....)(1 + x^2 + x^4 +x^6 +.....)( 1+ x^3 +x^6 + x^9 +.....).....(1+x^n + x^2n + x^3n +........)

    G(x) 展开式种 x^n  项的 系数 就是所求的结果。

     求x^n 的系数 用的是dp的思想。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[121][121];
int n;
void solve(){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0] =1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=0;j<=n;j++){
                    if(dp[i-1][j]){
                        for(int k = 0;k<=n;k++){
                            int d = j + k*i;
                            if(d<=n){
                                dp[i][d]+=dp[i-1][j];
                            }else{
                                break;
                            }
                            
                        }
                        
                    }
                    
                }
            
        }
        
        cout << dp[n][n]<<endl;
    
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        solve();
    }
    return 0;
}

扩展 ： 整数n 拆分成k 个数的和的拆分 ，与 整数n 拆分成最大数为k 的拆分数相同。

整数n 拆分成不超过k个数的和的拆分数，等于讲n+ k 拆分成 恰好k个数的拆分数。