【计算机图形学】GAMES101: 现代计算机图形学入门（闫令琪）

GIS程序媛—椰子

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文章标签：计算机图形学

于 2024-10-25 19:38:57 首次发布

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计算机图形学概述
向量与线性代数
- 向量
变换（二维与三维）
- 二维变换
- 三维变换
变换MVP（模型Model、视图View、投影Projection）
- 观测 viewing/camera 变换
光栅化（三角形的离散化）
光栅化（深度测试与抗锯齿）
着色（光照与基本着色模型）
着色（着色频率、图形管线、纹理映射）
着色（插值、高级纹理映射）
几何（基本表示方法）
几何（曲线与曲面）
几何（网格处理）、阴影图
光线追踪（基本原理）
光线追踪（加速结构）
光线追踪（辐射度量学、渲染方程与全局光照）
光线追踪（蒙特卡洛积分与路径追踪）
材质与外观
高级光线传播与复杂外观建模
相机与透镜
光场、颜色与感知
动画与模拟（基本概念、质点弹簧系统、运动学）
动画与模拟（求解常微分方程，刚体与流体）
参考

计算机图形学概述

现代计算机图形学的四大组成部分：（1）光栅化成像（2）几何表示（3）光的传播理论（4）动画与模拟

向量与线性代数

向量

一些向量在图形学中的主要应用：

位置与位移:
向量可以用来表示物体的位置。例如，在3D空间中，一个顶点可以通过一个三维向量 (x, y, z) 来表示。
位移也可以用向量表示，即从一个点到另一个点的移动。
方向:
向量可以表示光线的方向、表面法线（垂直于表面的向量）等。
在光照模型中，计算光线如何反射或折射时需要用到法线向量。
运动:
向量能够描述物体的速度和加速度，这对于动画和物理模拟至关重要。
通过将速度向量乘以时间步长，可以得到下一帧中物体的新位置。
变换:
使用矩阵和向量，可以实现平移、旋转、缩放等几何变换。
这些变换对于创建复杂的场景、角色动画以及用户交互是必不可少的。
碰撞检测:
在进行碰撞检测时，向量可以帮助确定两个对象之间的相对位置和距离。
法线向量还用于判断碰撞发生的具体部位。
投影:
当需要将3D场景渲染到2D屏幕上时，会用到投影技术。这里涉及到将3D坐标转换为2D屏幕坐标的向量运算。
颜色处理:
颜色通常由红、绿、蓝三个分量组成，这实际上就是一个三维向量。使用向量可以方便地执行颜色混合、调整亮度对比度等操作。
纹理映射:
在应用纹理到模型表面上时，UV坐标就是二维向量，它们指定了纹理图像上的对应位置。
光照计算:
在Phong照明模型等算法中，需要计算光源、观察者和表面法线之间的角度，这些都涉及到向量间的点积和叉积。
阴影生成:
为了产生阴影效果，经常需要沿着光线的方向投射影子，这也是基于向量的操作。

点乘

公式为 A·B = |A|*|B|*cos(θ)，其中|A|和|B|分别是向量A和B的长度，θ是两者之间的夹角
其结果是一个标量值

计算角度:
点乘的结果可以用来计算两个向量之间的夹角。给定向量A和B，它们的点乘公式为 A·B = |A|*|B|*cos(θ)，其中|A|和|B|分别是向量A和B的长度，θ是两者之间的夹角。通过这个关系，我们可以求出cos(θ)并进一步得到θ。
判断方向:
如果两个向量的点乘结果大于0，说明两向量之间的角度小于90度；如果等于0，则说明两向量垂直；如果小于0，则说明角度大于90度但小于180度。
这一点在光照模型中特别有用，比如当计算光源与表面法线之间的夹角时，可以快速判断光线是否照射到了物体上。
投影:
点乘可以帮助我们计算一个向量在另一个向量上的投影长度。如果要找到向量A在向量B上的投影，可以使用公式 (A·B) / |B|，这将给出投影向量的长度。
光照模型:
在Phong反射模型中，环境光、漫反射和镜面反射部分都会用到点乘来计算光照强度。例如，在计算漫反射时，通常会使用表面法线向量和入射光方向向量的点乘结果作为系数。
可见性检测:
当检查某个表面是否面向观察者（即是否可见）时，可以通过比较该表面法线与从表面指向观察者的向量之间的点乘结果来进行。如果结果为正，表明该表面朝向观察者；如果是负数，则意味着背面朝向观察者。
碰撞检测:
在某些情况下，点乘可用于简单的碰撞检测算法，例如确定一个点是否在一个平面的一侧。通过计算从该点到平面上任意一点的向量和平面法线之间的点乘，可以得出结论。
纹理映射:
在进行纹理映射时，有时需要根据表面的倾斜程度调整纹理坐标，这时也可以利用点乘来帮助确定正确的纹理位置。

叉乘

公式：|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>，即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定
结果是一个新的向量，这个新向量垂直于原来的两个向量所在的平面

计算法线:
在3D图形中，为了进行光照计算和确定表面的方向，需要知道表面的法线。给定多边形上的两个非平行边向量，可以通过叉乘来得到该多边形的法线向量。
例如，对于三角形ABC，可以使用向量AB和AC的叉乘来获得三角形的法线N = AB × AC。
确定方向:
叉乘的结果不仅提供了垂直于原向量的新向量，还通过右手规则定义了方向。这在判断旋转方向、面朝向等方面非常有用。
如果你用右手的食指指向第一个向量，中指指向第二个向量，那么大拇指所指的方向就是叉乘结果向量的方向。
面积计算:
两个向量叉乘的模（长度）等于这两个向量构成的平行四边形的面积。如果这些向量代表了一个三角形的两边，则叉乘模的一半就是三角形的面积。
这在计算物体表面积或者进行某些类型的碰撞检测时很有用。
旋转与角速度:
在处理刚体动力学时，物体的旋转可以用角速度向量表示，而角速度向量的方向通常由叉乘给出。例如，一个力矩向量（力与力臂的叉乘）可以用来计算物体绕某轴的旋转。
坐标系变换:
在建立局部坐标系时，叉乘可以帮助构建正交基底。比如，已知一个单位向量作为X轴，另一个单位向量作为Y轴，可以通过它们的叉乘得到Z轴的单位向量，从而完成坐标系的定义。
碰撞检测与响应:
在一些高级的碰撞检测算法中，如分离轴测试（SAT），叉乘用于创建潜在的分离轴，以检查两个物体是否相交。
在碰撞发生后，也可以利用叉乘来计算碰撞产生的旋转效应。
视口裁剪和平面方程:
当定义一个平面时，通常会用到平面上的一个点和平面的法线向量。平面的法线可以通过叉乘两个不共线的平面上向量得到。
这种方法常用于视口裁剪，即确定哪些物体位于摄像机视野内，哪些不在。

矩阵

坐标变换:
平移（Translation）: 通过使用齐次坐标系下的4x4变换矩阵，可以实现物体在3D空间中的移动。
旋转（Rotation）: 利用旋转矩阵，可以在3D空间中围绕一个轴或多个轴旋转物体。常见的有绕X轴、Y轴和Z轴的旋转矩阵。
缩放（Scaling）: 缩放矩阵允许我们改变物体的大小，可以通过不同的比例因子来调整物体在不同维度上的尺寸。
复合变换:
通过将多个基本变换矩阵相乘，可以创建一个复合变换矩阵，从而一次性完成一系列复杂的变换操作。例如，先平移再旋转最后缩放的操作可以用一个单一的复合矩阵来表示。
投影变换:
在渲染过程中，需要将3D场景转换为2D图像，这时会用到投影矩阵。常见的投影类型包括正交投影（Orthographic Projection）和透视投影（Perspective Projection），它们分别产生没有透视效果和平行线汇聚于消失点的效果。
视图变换:
视图矩阵用于定义观察者的位置和方向，它将世界坐标系转换为以摄像机为中心的坐标系，这样就可以从特定视角查看场景。
模型变换:
模型矩阵用于将物体从其局部坐标系转换到世界坐标系。每个物体都有自己的局部坐标系，通过模型矩阵，我们可以将其放置在场景中的正确位置，并赋予正确的姿态。
法线变换:
当物体经过变换后，为了保持光照计算的一致性，通常还需要对物体表面的法线进行相应的变换。这涉及到法线矩阵的使用，它是变换矩阵的逆矩阵的转置。
动画与骨骼动画:
在动画中，特别是骨骼动画里，矩阵用来表示每块骨骼相对于父骨骼的位置和姿态。这些矩阵可以随着动画关键帧的变化而变化，从而驱动整个骨架的运动。
纹理映射:
纹理坐标有时也需要通过矩阵变换来进行调整，比如在处理UV坐标时，可能需要用到矩阵来适配不同形状的多边形面。
阴影映射:
在生成阴影贴图的过程中，会使用到投影矩阵和视图矩阵，以确保从光源的角度来看待场景，并记录下深度信息。
碰撞检测:
在某些情况下，矩阵也可以辅助进行碰撞检测，尤其是在处理刚体动力学和物理模拟时，物体的姿态和位置都需要通过矩阵来表示。