[施工...][业界良心]数论

1.整除

整除的概念

$a,b\in Z$，如果存在一个整数 $q$，使$a=b\cdot q$ 成立，则称“$a$能被 $b$ 整除”或“$b$ 整除 $a$”，记做$b\mid a$，否则记做$b\nmid a$。

带余除法定理

设$a,b\in Z$，则存在唯一的整数 $q$ 和 $r$，使得$a=b\cdot q+r$
其中$r\in \left [ 0,\left |b\right | \right)$。
也就是$a/b=q,a\%b=r$。

性质

• 若 $a\mid b,b\mid c$，则 $a\mid c$
  证明：
  $a\mid b\Rightarrow b=q_1 \cdot a$
  $b\mid c \Rightarrow c=q_2 \cdot b$
  $\therefore c=q_1\cdot q_2\cdot a$
  $\therefore a\mid c$

• 若$d\mid a,d\mid b$，则对于$\forall x,y\in Z$，有$d\mid (a\cdot x+b\cdot y)$
  证明：
  $d\mid a\Rightarrow a=q_1\cdot d$
  $d\mid b\Rightarrow b=q_2\cdot d$
  $\therefore (a\cdot x+b\cdot y)=q_1\cdot d\cdot x+q_2\cdot d \cdot y=d\cdot (q_1\cdot x+q_2\cdot y)$
  $\therefore d\mid (a\cdot x+b\cdot y)$

• 若$a\mid b$ 且 $b\neq 0$，则$\left |a\right |\leq \left |b\right |$
  证明 :
  $a\mid b\Rightarrow b=q\cdot a(q\in Z,q\neq 0)$
  $\therefore \left |b\right |=\left |q\cdot a\right |=\left |q\right |\cdot\left | a\right |$
  又$\because \left| q\right| \geq 1$
  $\therefore \left |a\right |\leq \left |b\right |$

• 若$a\mid b$ 且 $b \mid a$，则$\left |a\right|=\left |b\right|\neq 0$
  证明：
  $a\mid b\Rightarrow b=q_1\cdot a$
  $b\mid a\Rightarrow a=q_2\cdot b$
  显然成立。

• 若$a\mid b$且$\left| b\right |<\left|a\right|$，则$b=0$。

• 若$a,b\in Z$，且 $a^2\mid b^2$，则$a\mid b$
  证明：反证法
  $\because a^2\mid b^2$，则存在$k\in Z$且$k>0$，使$b^2=k\cdot a^2$
  $\therefore k=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow \sqrt k=\frac{a}{b}$
  $\therefore$ 如果$a\mid b$，那$\sqrt k\in Z$，那 $k$ 就是完全平方数
  假设 $k$ 不是完全平方数， 则$\sqrt k$ 是无理数
  但是$\sqrt k=\frac{a}{b}$，$\sqrt k$ 既然能表示成分数，那就肯定不是无理数
  所以假设不成立，$k$ 是完全平方数
  $\therefore \sqrt k\in Z$
  $\therefore a\mid b$

2.最大公约数和最小公倍数

定义

最大公约数

设 $a,b,m\in Z$，若$m\mid a$ 并且$m\mid b$，则称 $m$ 是 $a,b$ 的公约数。

若 $a,b$ 不全等于 $0$，则存在一个最大的 $m$，这个最大的 $m$ 叫做 $a,b$ 的最大公约数。

在数学中记做$m=\left(a,b\right)$，在OI中可以表示为 $gcd(a,b)=m$

特别的，如果$gcd(a,b)=1$，则称 $a,b$ 互质。

对于任意的$a\in N_+$，都有$gcd(a,1)=1$

最小公倍数

设 $a,b,m\in Z$，若$a\mid m$ 并且$b\mid m$，则称 $m$ 是 $a,b$ 的公倍数。

在 $a,b$ 的所有公倍数中，最小的那个叫做 $a,b$ 的最小公倍数。

在数学中记做$m=\left[a,b\right]$，在OI中可以表示为 $lcm(a,b)=m$

定理

• 对于$\forall m\in Z$，若$m\not= 0$，则$gcd(m,0)=|m|$

• 若 $m,n$ 不全等于 $0$，则$gcd(m,n) \geq 1$

• 若 $m\mid n$，则$gcd(m,n)=m$

• 欧几里得算法（辗转相除法）

设$a,b$ 是不为 $0$ 的整数，且$a=b\cdot q+r$，则$gcd(a,b)=gcd(b,r)$
也就是$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

根据这个可以写出求 $gcd$ 的递归代码

int gcd(int a,int b) {
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}

迭代当然可以

int gcd(int a,int b) {
    while(b!=0) {
        int r=b;
        b=a%b;
        a=r;
    }
    return a;
} 

或者直接用std

#include<algorithm>
using namespace std;
__gcd(a,b)

写完代码来干一些奇奇怪怪的事情，我们来证明一下这个的正确性。

证明：

设$d=gcd(a,b),d_1=gcd(b,r)$
那要证明这个定理，就只需要证明 $d=d_1$

$\because d_1=gcd(b,r)$
$\therefore d_1\mid b,d_1\mid r$
$\therefore b=k_1\cdot d_1,r=k_2\cdot d_1$
又$\because a=b\cdot q+r$
$\therefore a=q\cdot k_1\cdot d_1+k_2\cdot d_1=d_1\cdot (q\cdot k_1+k_2)$
$\therefore d_1\mid a$
又$\because d_1\mid b$
$\therefore d_1$ 是 $a,b$ 的公约数
$\therefore d_1\leq d$
用相同的思路，在把$d$ 处理一下，
$\because d=gcd(a,b)$
$\therefore d\mid a,d\mid b$
$\therefore a=k_1\cdot d,b=k_2\cdot d$
又$\because a=b\cdot q+r$
$\therefore r=a-b\cdot q=k_1\cdot d-q\cdot k_2\cdot d=d\cdot (k_1-q\cdot k_2)$
$\therefore d\mid r$
又$\because d\mid b$
$\therefore d$ 是 $b,r$ 的公约数
$\therefore d\leq d_1$
又$\because d_1\leq d$
$\therefore d=d_1$

• 扩展欧几里得算法（裴蜀定理）（$x,y$的线性丢番图方程）

挖个坑先。