乘法逆元

最新推荐文章于 2025-06-15 19:36:32 发布

qianyri

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分类专栏：数学

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本文深入探讨了大数运算中的取模与乘法逆元概念，包括笔算求逆元、拓展欧几里得算法、费马小定理及欧拉函数的应用，同时介绍了线性求逆元和阶乘逆元的方法，结合具体题目如HDU6304和HDU3037进行实例解析。

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大数取模 /乘法逆元

int64 x当 x*x可能溢出int64时需要内部取模 (x%mod)*(x%mod)%mod

当出现求解(b/a)%mod=?问题时，可以转化到求解b*x%mod=?

其中x称为a关于mod的乘法逆元

1.笔算求a关于mod的乘法逆元x：

根据定义可知， a*x%mod=1 -> a*x=1+y*mod -> x=(mod+1)/b (：y=1) ;

HDU6304 Chiaki Sequence Revisited 等差数列乘法逆元

2.拓展欧几里得求a关于mod的乘法逆元x （任意情况）

long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a==0&&b==0) return -1;
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    long long d=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
long long inv(long long a,long long n)
{
    long long x,y;
    long long d=ex_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1) return (x%n+n)%n;
    else return -1;
}

3.费马小定理求a关于mod的乘法逆元x （a<mod，a\mod互质）

long long inv_(long long a,long long m)
{
    if(a==1) return 1;
    return inv_(m%a,m)*(m-m/a)%m;
}

4.利用欧拉函数求逆元(mod为素数，且a\mod互质)

long long inv_(long long a,long long mod)
{
    return pow(a,mod-2,mod);
}

5.线性求1~MAX的逆元（MAX<mod即可）（费马小）

void inv_()
{
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<MAX;++i) inv[i]=((MOD-MOD/i)*inv[MOD%i])%MOD;
}

6.处理阶乘的逆元

逆元是完全积性函数，可由3，4，递推

DU6333 Problem B. Harvest of Apples 莫队算法+乘法逆元

HDU3037 Saving Beans Lucas 定理+逆元