动态规划之神奇的口袋

动态规划之神奇的口袋

题目

有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出一些物品，这些物品的总体积必须是40。
John现在有n（1≤n ≤ 20）个想要得到的物品，每个物品的体积分别是a1， a2……an。 John可以从这些物品中选择一些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的口袋， John就可以得到这些物品。现在的问题是， John有多少种不同的选择物品的方式。

输入
输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别给出a1， a2……an的值。

输出
输出不同的选择物品的方式的数目。

输入样例
3
20
20
20

输出样例
3

解析

设C[n][h]为n个物品可以选出重量h的方式数目。ai为第i个物品的重量。那么C[k][m]表示前k个物品可以选出重量m的方式数目，那么我们可以考虑有没有必要选第k个物品：

一方面，如果必须选择第k个物品，那么也就意味着“第K个物品是组成重量为m所必须的”。换句话说，拿了第k个物品组成重量m的方式数目与不拿第k个物品所组成重量为m-a[k]的方式的数目是一样的。此时C[k][m] = C[k-1][m-a[k]]。

另一方面，如果不必选择第k个物品，也就意味着第k个物品的重量对于组成m重量没有任何贡献，那么不要它也是一样的，此时C[k][m] = C[k-1][m]。

所以结合两反面考虑，有如下递归公式：
C[k][m] = C[k-1][m-a[k]] + C[k-1][m]

这种思路的本质实际上是枚举出对每一个物品而言，要与不要对于整体的作用。题目上说物品数目的范围是1到20，所以总共有2^20中情况。其中有一些情况实际上是很不必要的，我们可以筛选一下，缩小范围，专业术语叫做“剪枝”。这里用动态规划写出优化后的代码。

解法一：递归

时间复杂度为O(2^n)。

#include <stdio.h>
int a[21];

int Pocket(int k, int m)
{
    if (m == 0)
    {
        return 1;   //要凑够重量为0，只有一种方式：什么都不选
    }
    if (k <= 0)
    {
        return 0;   //当没有物品时，可选方案为0，巧妇难成无米之炊
    }
    return Pocket(k-1, m-a[k]) + Pocket(k-1, m);    //Pocket(k-1, m-a[k])为必须要第k个物品时可选方案数
                                                    //Pocket(k-1, m)为不必要第k个物品时可选方案数
}

int main()
{
    int n;
    int i = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (i = 1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    printf("%d\n", Pocket(n, 40));

    return 0;
}

解法二：递推（动规）

将递归化为递推，时间复杂度降为O(N*H)。

#include<stdio.h>

#define H 40
int N;
int a[21];
int ways[21][H];

int Pocket()
{
    int k = 0;
    int m = 0;
    for (k = 1; k <= N; k++)
    {
        for (m = 0; m <= H; m++)
        {
            int x = 0;
            ways[k][m] = ways[k-1][m];
            x = m - a[k];
            if (x >=0)
            {
                ways[k][m] += ways[k-1][x];
            }
        }
    }
    return ways[N][H];
}

int main()
{
    int i = 0;
    scanf("%d", &N);
    for (i = 1; i<=N; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        ways[i][0] = 1;
    }
    ways[0][0] = 1;
    printf("%d\n", Pocket());
}