POJ_1781_In Danger_约瑟夫问题

这道题是约瑟夫问题的变形，大意就是给定很多人，围成一个环，从一开始数，每次杀死第三人，事实上按数据是每数到2就杀死当前的人。第一个样例中，一共五人，先杀死2号，之后是4号，然后1号，最后杀死5号，于是3号最后活下来了。

输入数据，读为字符型较方便，我是直接读一个字符串s，然后计算人数人数，这个人数很多，模拟的话一定会超时，但是模拟的方法先简述一下：

设有n个人，数到m杀死当前人。

定义一个布尔型数组记录人的生死，初始化为true，代表都活着。定义一个k=0，记录已经杀死几个人。一个变量t记录当前人的编号，x记录数到了几。

当k不等于n时，t每次加一，若t大于n；则令t=1。若通过布尔型数组判断编号为t的人还活着，x也加一。若x==m，令数组下标为t的值为false。那么最后的t值即为活下来的人。

核心代码（模拟）：

memset (a,true,sizeof(a));
        s=0,t=0,k=0;
        do
        {
            t++;
            if (t>n)
                t=1;
            if (a[t]==true)
                s++;
            if (s==m)
            {
                a[t]=false;
                s=0;
                k++;
                if(k==n)
                    cout<<t<<endl;
            }
        }while (k!=n);

然而对于这道题，需要找到一些规律，否则会超时。

那么假设n个人，每次杀死第m人时活下来的是编号为k的人，当m一定，对于n+1个人来说，第一个杀死的是编号为m的人，还剩下n人，那么这就和n个人的情况一样了，只是不是从第一个人开始数，而是从m+1开始。这样有n+1个人时，最终活下来的为第k+m号人。同理，n+2时，为k+2m号。

问题是k每次加m时，n只是加上1，可能会出现算出的活下来的人的编号大于n的情况，此时怎么办呢？显然，我们对算出的数对n取模即可。

这时对本题中m一直为2，对于n为2的整数次幂时，第一次转一圈杀死了所有的编号为偶数的人，然后又从1号开始，这时剩下n/2个人，人数还是2的整数次幂，不妨把这些人重新按顺序编号，又杀死了那些编号为偶数的一半人，依然回到1……最后显然回到n=2的情况，最终活下来的人为1号。所以，当n为2的整数次幂时，活下来的人是1号。

这样对于一个任意的n，若是2的整数次幂答案为1,。其他的只要找到不大于它的最大的2的整数次幂的数x，然后算出1+2（n-x）即为答案。那么关于这个值为什么必然小于下一个2的整数次幂数，下一个数为2x，n-x>x时，n>2x，不大于n的最大的2的整数次幂的数就是2x了。

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
long long p;
int n,m,z;
string s;
long long ef[50]={0,1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288,1048576,2097152,4194304,8388608,16777216,33554432,67108864,134217728,268435456};
//数组打表记录2的整数次幂
int main()
{
    while (cin>>s,s[0]-'0'+s[1]-'0')
    {
        n=s[0]-'0';
        m=s[1]-'0';
        z=s[3]-'0';
        p=(n*10+m);
        for (int i=1;i<=z;i++)
            p*=10;
        if (p==1||p==2||p==4)
        {
            cout<<1<<endl;
        }
        else
        {
            if (p==3)
                cout<<3<<endl;
            else
            {
                long long t;
                int k;
                for (int i=1;p>ef[i];i++)
                    k=i;
                if (ef[k+1]==p)
                    cout<<1<<endl;
                else
                {
                    t=1+2*(p-ef[k]);
                    cout<<t<<endl;
                }       
            }   
        }       
    }
    return 0;
}