【题解】P1373 奶牛的卧室

最新推荐文章于 2024-09-26 22:52:00 发布

原创最新推荐文章于 2024-09-26 22:52:00 发布 · 1.1k 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文介绍了一道算法题目“P1373奶牛的卧室”，问题要求为一组编号的奶牛分配尽可能少的床位，确保没有两头奶牛睡在同一张床上。文章详细解释了解题思路，采用记录任意两个数的差的绝对值及其约数的方法，最终找到符合条件的最小数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

P1373 奶牛的卧室
2017年6月12日

奶牛们有一个习惯，那就是根据自己的编号选择床号。如果一头奶牛编号是a，并且有0..k-1一共k张床，那么她就会选择（a mod k）号床作为她睡觉的地点。显然，2头牛不能睡在一张床上。那么给出一些奶牛的编号，请你为她们准备一间卧室，使得里面的床的个数最少。

【分析】

本题要求的，就是找一个最小的数m，使得任意两个数x，y，满足：
(x mod m) != (y mod m).
根据结论：
当（(x - y) mod m） != 0，则有：(x mod m) != (y mod m).

证明：
设：a % m = b % m = k,
则：a = p1 * m + k; b = p2 * m + k.
(a - b) = (p1 - p2) * m,(a - b) mod m = 0.
用反证，可以证明结论正确。

所以本题是找一个最小的数，这个数应满足不是任何两个数的差的约数。

【过程】
本题的思路是将任意两个数的差的绝对值记录下来，并求出他们的所有约数，那么最小的一个不是约数的数就是本题所求的数。
但是因为数据量太大，O=n*max（5000*1000000），所以将所有差的约数记录下来不现实，所以可以采取边记录边寻找的方法。将所有的差记录下来，从N开始到最大的num[N],按顺序寻找，如果这个数是任意差的约数，break并检查下一个数。

根据抽屉原理，所求的数字最小是N，最大是num[N].

【代码 C++】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

#define maxx 10000010
int N;
int num[5100], ans = 0;
bool Recalls[maxx];
//记录任意两个数的差

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> N;
    memset(Recalls, true, sizeof(Recalls));
    for(int i = 1; i <= N; i++)     cin >> num[++ans];
//输入
    sort(num + 1, num + 1 + N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        for(int k = 1; k <= N; k++)
            Recalls[abs(num[i] - num[k])] = false;
//记录
    for(int i = N; i <= num[N]; i++)
//寻找
    {
        if(Recalls[i] == true){
            for(int k = 2 * i; k <= num[N]; k += i)
                if(Recalls[k] == false){
                    Recalls[i] = false;
                    break;
                }
            if(Recalls[i] == true){
                cout << i <<endl;
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}