【P1447】[NOI2010]能量采集 欧拉函数

[NOI2010]能量采集

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数n和m。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

输入输出样例

输入样例#1：

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

输出样例#1：

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

题解

稍做思考后我们就会发现，
其实这个题是想让我们求$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}gcd(i,j)$
求这个$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}gcd(i,j)$
其实是求$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{d|i{\&} d|j}φ(d)$
我们发现这两个式子是等价的，如果$d|i$&$d|j$,那么$d$一定是$gcd(i,j)$的因子，那么$\sumφ(d)=gcd(i,j)$
我们改为枚举因子得到
$\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)}φ(d)\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{i}\rfloor$
然后可以通过整除分块来加速

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long 
#define N 1000010 
const int MAXN=1e7;
using namespace std;
int n,m,num;
int phi[MAXN],pre[MAXN],vis[MAXN],S_phi[MAXN];
ll ans;
void Init()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(vis[i]==0) pre[++num]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=num&&i*pre[j]<=N;j++)
        {
            vis[pre[j]*i]=1;
            if(i%pre[j]==0) 
            {
                phi[pre[j]*i]=phi[i]*(pre[j]);
                break;
            }
            else
                phi[pre[j]*i]=phi[i]*(pre[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) S_phi[i]=S_phi[i-1]+phi[i];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    Init();
    for(ll i=1,j=0;i<=n;i=j+1)
    {
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(ll)(S_phi[j]-S_phi[i-1])*(ll)(n/i)*(ll)(m/i);
    }
    printf("%lld",(ll)2*(ll)ans-(ll)n*(ll)m);
    return 0;
}