[HEOI2014]bzoj 3612 平衡 - dp

最新推荐文章于 2018-09-12 10:31:59 发布

Mys_C_K

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分类专栏： BZOJ 各省省选 DP动态规划

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本文介绍了一个关于数字序列求解的问题，通过动态规划方法解决，并针对原始DP算法进行优化，最终实现高效求解特定条件下的组合数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：求：
$\sum_{i=1}^k x_i=kn,\forall i\in[1,k],x_i\in[0,2n],x_{i-1}<x_i. k\le10, n\le1e4$ ，20组数据。
题解：
朴素的dp是dp[i][j][k]表示前i个数字和是j上一个数字是k的方案数，转移枚举上一个数字，但这显然T的飞起；考虑数字拆分分块优化的另一种dp方式，设dp[i][j][k]表示前i个数字和是j，最大的数字是k的方案数，每次转移要么全部+1，要么全部+1然后补0.考虑优化，如果不考虑2n的限制可以扔掉k这一维不管。因此我们要在最大值是2n+1的时候减去那些不合法的，也就是dp[i][j]-=dp[i-1][j-2n-1]，就相当于把最后一项是2n+1的方案数减去，这样就可以 $O(nk^2)$ 了。
代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define gc getchar()
#define lint long long
#define mod 1000000007
#define N 10010
#define K 15
using namespace std;
inline int inn()
{
    int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
    x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
int dp[K][K*N];
int dfs(int las,int n,int m,int s)
{
    if(n==1) return s>las&&s<=m;int res=0;
    for(int i=las+1;i<=min(m,s);i++) res+=dfs(i,n-1,m,s-i);
    return res;
}
int main()
{
    for(int T=inn();T;T--)
    {
        int n=inn(),k=inn(),p=inn();
        if(k==1) { printf("%d\n",1%p);continue; }
        memset(dp[1],0,sizeof(int)*(k*n+1));
        for(int i=0;i<=2*n;i++) dp[1][i]=1;
        for(int i=2;i<=k;i++)
            for(int j=i*(i-1)/2;j<=k*n;j++)
            {
                dp[i][j]=(dp[i-1][j-i+1]+dp[i][j-i])%p;
                if(j>2*n) dp[i][j]=(dp[i][j]-dp[i-1][j-2*n-1]+p)%p;
            }
        printf("%d\n",dp[k][k*n]);
    }
    return 0;
}