[持续更新]莫比乌斯反演、杜教筛等数论变换中的小技巧

1.一个结论
记$f(n)=\sum_{i=1}^n [\frac{n}{i}]$，则有：$f(n)=\sum_{i=1}^n d(i)$。其中$d(n)=\sum_{d|n} 1$
这个结论是显然的。
2.杜教筛的一步换元

$$1=\sum_{i=1}^n \sum_{d|n} \phi(d)=[\sum_{i=1}^n \sum_{d|n,d<n} \phi(d)]+\sum_{i=1}^n \phi(i)=[\sum_{k=frac{i}{d}=2}^n \sum_{k|i} \phi(\frac{i}{k})]+S(n)=[\sum_{k=2}^n \sum_{i=1}^{[\frac{n}{k}]} \phi(i)] +S(n)=[\sum_{k=2}^n S([\frac{n}{k}])]+S(n)$$
因此有$S(n)=1-\sum_{k=2}^n S([\frac{n}{k}])$
这样预处理前$O(n^\frac{2}{3})$ 个S(n)即可。复杂度$O(n^\frac{2}{3})$。
3.可以在$O(nlgn)$ 时间内求出任意两个函数的卷积，显然。
4.考虑一种情况：求$(n<=m)$：
$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m F(\gcd(i,j))$$
$$=\sum_{d=1}^n F(d) \sum_{i=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum_{j=1}^{[\frac{m}{d}]}\sum_{e|\gcd(i,j)}\mu(e)$$
$$=\sum_{d=1}^n F(d) \sum_{e=1}^{[\frac{n}{d}]}\mu(e)[\frac{n}{de}][\frac{m}{de}]$$
$$=\sum_{T=de=1}^n [\frac{n}{T}][\frac{m}{T}] \sum_{d|T}\mu(d)F(\frac{T}{d})$$
$$=\sum_{T=de=1}^n [\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]G(T)$$
若F是积性函数那么G也将是积性函数，问题可以在$O(n+q\sqrt n)$ 时间内解决。
否则可以在至少$O(nlgn+q\sqrt n)$ 时间内解决。