信息论与编码理论：已知12个球中有一个球的质量与其他球不同，其他球均等重，求证：用天平称三次即可找出此球

信息论与编码理论：已知12个球中有一个球的质量与其他球不同，其他球均等重，求证：用天平称三次即可找出此球

题目分析

首先使用的是天平 ，那么在与标准重量进行比较的时候就能判断出这个质量与其他球不同的球到底是更轻还是更重。这一点尤其重要，如果忽略了，那么我认为这题就是不可解的了。
这题的要点是，在知道球的轻重的情况下（当然一开始是不知道的）
最多只能区分三个球中重量较为特殊的球
球的总数为12，通过一次称量尽可能多的获得对称的信息量，从而从不同的情况中将题解出

解题过程

步骤：先假设质量不同的球为Q
1、 将球编号为1~12
2、 将球分为三堆，即A1：1-4 ， A2：5-8 ， A3：9-12。
3、 天平第一次称量：
——A1 VS A2——————————————————结果分为两个
相同 说明质量不同的球Q一定在A3中，且A1和A2中的球都是标准的
………………………………………………………………………接步骤8
不同 说明质量不同的球Q在A1或者A2中，且A3中的球都是标准的
不妨假设结果为A1<A2，方便后面分析
………………………………………………………………………接步骤4
步骤4、 天平第二次称量：
将A1中的球1与A2中的球5，6，7取出放在天平的左端，将A3中三个标准的球与A2中的球8放在天平的右端
——1，5，6，7 VS 8，12，11，10 这里的12,11,10分别对应标准重量：标准1，标准2，标准3—————————————结果分为三个
小于 说明Q是1轻或者8重的中的一个，接步骤5
等于 说明Q是重的球在5，6，7中的一个，接步骤6
大于 说明Q是轻的球在2，3，4中的一个，接步骤7
接下来只需要在知晓特殊球重量的情况下从最多三个球中比较出来就行

步骤5、 天平第三次称量：
——1 VS 标准1（12）
相同说明Q是8且重于标准，完成
不同说明Q是1且轻于标准，完成

步骤6、 天平第三次称量：
——5，6 VS 6，7
相同说明Q是6且重于标准，完成
大于说明Q是5且重于标准，完成
小于说明Q是7且重于标准，完成

步骤7、 天平第三次称量：
——2，3 VS 3，4
相同说明Q是3且轻于标准，完成
大于说明Q是4且轻于标准，完成
小于说明Q是2且轻于标准，完成

步骤8、 天平第二次称量：
——9VS10
相同说明Q在11或者12中，其余均为标准，接步骤9
不同说明Q是9或者11，其余均为标准，接步骤9

步骤9、 天平第三次称量：
——标准球VS9或者11
相同……
不同……
完成

总结

解题过程中最重要的地方在于步骤4，巧妙的平衡达成了对称信息量的获取，将目标分解成了最多重量已知的三个球，从而能够在后续给出解答。