codefroces 425E Sereja and Sets (dp)_e. sereja and sets-优快云博客

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本文探讨了一个关于区间选择与组合数学的问题，详细介绍了如何通过定义状态转移方程dp[i][j]来计算前j个点分成i个区间能得到的方案数。文章深入分析了状态转移过程，包括如何利用排列组合原理和二进制思想计算出最大选择数量，最终通过代码实现了解决方案。

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题意：

给出一个数n表示区间的长度，集合S，表示n的子区间的集合。f(S)表示S集合最多可以选择多少个不相交的区间。现在给出n，f(S)=k，求出这样的集合数。

题解：

这题其实很难，定义这样的状态dp[i][j]前j个点分成i个区间能得到的方案数，用到排列组合，对于这样的状态dp[i-1][k] k到j之间的区间进行排列组合，分割，[k+1,k+1],[k+1,k+2]...[k+1,j]这样的区间个数有2^(j-k)个，刚才计算的是不想交的区间，题目说S最多可以分成多少个不相交的区间，那么S里面是可以有相交的区间的，那么方案数还要有相交区间的这样的相交区间有 2^((j-k)*k)；

事实上着要组合数学比较好的容易推出方程。。。

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int oo=0x3f3f3f3f;
const ll OO=1LL<<61;
const ll MOD=1000000007;
const int maxn=505;
const int maxm=505;
ll dp[maxn][maxm];
ll f[maxn*maxn];

int main()
{
    int n,m;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn*maxn;i++)
    {
        f[i]=(f[i-1]<<1)%MOD;
    }
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {

        memset(dp,0,sizeof dp);
        for(int i=0;i<=n;i++)
            dp[0][i]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=i;j<=n;j++)
            {
                for(int k=i-1;k<=j;k++)
                {
                    ll cnt=(f[j-k]-1)*f[k*(j-k)]%MOD;
                    dp[i][j]=(dp[i][j]+(dp[i-1][k]*cnt)%MOD+MOD)%MOD;
                }
            }
        }
        printf("%I64d\n",dp[m][n]);
    }
    return 0;
}
/**
dp[i][k]=dp[i-1][k]+1;

12345
*/