51nod 做题记录

51nod 1013

计算$$3^0+3^1+...+3^n\%p$$

法1：$$ans=\frac{3^{n+1}-1}{2}\%p$$
$$=inv(2)\ast (3^{n+1}-1)$$
法2:
矩阵快速幂$$\left[\begin{array}{c}{S}_n\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{S}_{n-1}\\ 1\end{array}\right]$$

51nod 1035

题意是求一个倒数的最长循环节。
本题运用了无限循环小数的性质。
本来我的想法是高精除+floyd判圈。
根据性质，只要寻找到最小的k<=n,满足$$10^k\equiv 1(modn)$$k即为该n的循环节，暴力枚举k即可。
发现10=2*5，n中因子2和5对答案没有影响，为了加快速度，将因子2和5消去。

51nod 1040

$$\sum gcd(i,N)=\sum _{d|N}d\ast \varphi [\frac{N}{d}]$$