POJ 1742 Coins 混合背包(完全背包+多重背包二进制优化)

最新推荐文章于 2021-11-12 16:51:08 发布

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完全背包

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混合背包

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本文探讨了一种典型的背包问题——硬币组合问题，通过优化算法，解决了如何使用有限数量的硬币组合成特定数值的问题。文章详细介绍了完全背包与多重背包的解决策略，并通过二进制数的巧妙运用，降低了多重背包的复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

试题来源：做男人不容易系列：是男人就过8题——LouTiancheng题

本题给出 $n$ 种硬币，设第 $i$ 种硬币的面值为 $A_i$ ，数量为 $C_i$ ，求这些硬币能够组成从1到m中的哪些数字？

对于第i种硬币，如果 $A_i*C_i>=m$ ，则可以把第 $i$ 种硬币的数量视为无穷，作为一个完全背包来求解；否则，就作为一个多重背包来求解。
但是，多重背包的复杂度会T，这时候需要优化：

1到n以内的数字，能够通过 n 内的进制数组合得到

所以只要将 $C_i$ 拆分为二进制数之和，小于 $C_i$ 的数一定可以通过和式的几个加数得到，这样 $1-C_i$ 就不需要一一枚举。
复杂度 $O (M N l o g N)$ .

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N = 1e2 + 10;
typedef std::pair<int, int> pii;
int a[N], c[N], w[N];
int dp[1 << 17];
int n, m;

int main() {
   ios::sync_with_stdio(false);
   cin.tie(0);
   cout.tie(0);
   while (cin >> n >> m && n) {
       for (int i = 1; i <= n; i++)
           cin >> a[i];
       for (int i = 1; i <= n; i++)
           cin >> c[i];
       memset(dp,0,sizeof dp);
       dp[0] = 1;
       int ans = 0;
       for (int i = 1; i <= n; i++) {
           if (a[i] * c[i] >= m) {
               for (int j = a[i]; j <= m; j++)
                   if (!dp[j] && dp[j - a[i]]) {
                       dp[j] = 1;
                       ans++;
                   }
           }//完全背包
           else {
               int k = 0;
               while (c[i] > 0) {
                   if (c[i] >= k) {
					   k <<= 1;
                       c[i] -= k;
                   } else 
                       k = c[i];
                   for (int j = m; j >= k*c[i]; j--) {
                       if (!dp[j] && dp[j - k*c[i]]) {
                           dp[j] = 1;
                           ans++;
                       }
                   }
               }
           }//多重背包
       }
       cout<<ans<<endl;
   }
   return 0;
}