树、二叉树、二叉查找树

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#二叉树 #数据结构

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树的基本概念
- 树的实现
二叉树
- 二叉树的实现
- 二叉查找树的基本操作

树的基本概念

利用表数据结构来进行数据操作时，其访问方式是线性的，当数据量较大时，需要的处理时间会很大，不宜使用，这时我们需要一种新的数据结构，来降低时间的开销，这种数据结构就是树（tree）。
树可以用几种方式定义，定义树的一种自然的方式是递归的方法：一棵树是一些节点的集合，这个集合可以是空集；若非空，则一棵树由称作根（root）的节点r以及0个或多个非空的（子）树T1、T2、…、Tk组成，这些子树中的每一颗的根都被来自根r的一条有向的边所连接。每一颗子树的根叫做根r的儿子（child），而r是每一颗子树的根的父亲（parent），没有儿子的节点称为树叶（leaf），具有相同父亲的节点称为兄弟（sibling）。
树结构中有几个概念，从节点n1到nk的路径（path）定义为节点n1、n2、…、nk的一个序列；这个路径的长（length）为该路径上的边的条数，即k-1；对任意节点ni，其深度为从根到ni的唯一路径的长；一棵树的高度等于它的根的高；一棵树的深度等于它的最深的树叶的深度，该深度总是等于这棵树的高。

树的实现

实现树的一种方法可以使在每一个节点除数据外还要有一些指针，使得该节点的每一个儿子都有一个指针指向它。

struct TreeNode
{
  ElementType Element;
  TreeNode FirstChild;
  TreeNode NextSibling;
};

使用这种定义可应用在一般的树结构中，需要注意的是，每个结点中有两个指针，这两个指针不是指向节点的儿子，只有其中一个指向儿子节点，另一个指向的是它的兄弟节点。树的基本操作中有一项是遍历，对于树的遍历，有三种方式：先序、中序、后序，从名称就能看出来，这三种方式的不同之处就是对于节点内数据的取用顺序的先后。

二叉树

二叉树是树结构的一种，其中每个节点都不能多于两个的儿子。

二叉树的实现

因为一颗二叉树最多有两个儿子，所以可以直接指向它们，树节点的声明在结构上类似于双链表的声明，在声明中，一个节点就是由Key（关键字）信息加上两个指向其他节点的指针（Left和Right）组成的结构。

struct TreeNode
{
  Element Element;
  TreeNode Left;
  TreeNode Right;
};

二叉树的一个重要的应用是在查找中的使用，又称为二叉查找树，是二叉树的一种特殊形式，它所具有的特殊性质是：对于树中的每个结点X，它的左子树中所有的关键字值小于X的关键字值，而它的右子树中所有关键字值大于X的关键字值。这意味着该树所有的元素可以用某种统一的方式排序。

二叉查找树的基本操作

返回指向树T中具有关键字X的结点的指针，满足条件的结点不存在则返回NULL，依据二叉查找树的特性，递归的进行查找操作。

TreeNode *Find(ElementType X, TreeNode T)
{
  if (T == NULL)
     return NULL;
  if (X < T->Element)
return Find(X, T->Left);
  else if (X > T->Element)
    return Find(X, T->Right);
  else
    return T;
}

返回树中的最小元和最大元的位置，依据二叉查找树的特性，最小元从左子树向左搜寻，最大元从右子树向右搜寻，终止点就是最小或者最大的元素。

TreeNode *FindMin(TreeNode *T)
{
  if (T == NULL)
    return NULL;
  else if ( T->Left == NULL)
return T;
  else
    return FindMin(T->Left);
}
TreeNode *FindMax(TreeNode *T)
{
  if (T == NULL)
while (T->Right != NULL)
  T = T->Right;
  return T;
}

进行插入操作，找到有X存在的话什么也不用做，否则将X插入到遍历的路径上的最后一个点上。

TreeNode *Insert(ElementType X, TreeNode *T)
{
  if (T == NULL)
  {
T = new TreeNode;
if (T == NULL)
  std::cout << “Out of space!!”;
else
{
  T->Element = X;
  T->Left = T->Right = NULL;
}
  }
  else if (X < T->Element)
T->Left = Insert(X, T->Left);
  else if (X > T->Element)
    T->Right = Insert(X, T->Right);
  return T;
}

对于删除的操作，需要考虑几种不同的情况：如果节点是一篇树叶，那么它可以立即被删除；如果节点有一个儿子，则该节点可以在其父节点调整指针绕过该节点后被删除；如果节点有两个儿子，用其右子树的最小的数据代替该节点的数据并递归的删除那个节点。

TreeNode *Delete(ElementType X, TreeNode *T)
{
  TreeNode *temp;
  if (T == NULL)
std::cout << “Element not found”;
  else if (X < T->Element)
T->Left = Delete(X, T->Left);
  else if (X > T->Element)
T->Right = Delete(X, T->Left);
  else if(T->Left && T->Right)
  {
temp = FindMin(T->Right);
T->Element = temp->Element;
T->Right = Delete(T->Element, T->Right);
}
else
{
  temp = T;
  if (T->Left == NULL)
    T = T->Right;
  else if (T->Right == NULL)
    T = T->Left;
  delete temp;
}
return T;
}