2021 电子科技大学组合数学试卷 (卢光辉、戴波 )

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本文提供了2021年电子科技大学组合数学试卷（卢光辉、戴波）及2020、2018、2017、2014年的研究生试卷，涉及整数分解、正整数解计算、组合证明等问题。同时，还包含了部分解题思路和难点，如无损压缩算法的存在性讨论。

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2021电子科技大学组合数学试卷 (卢光辉、戴波 )附带（ 2020 2018 2017 2014 各年题）

Copyright@天下小编都没马
希望学弟学妹都能考个好成绩
特别声明：该回忆版试卷不授权智博书店印刷出售

正偶数 $k_1, k_2, ...$ 大于0，且满足 $ki≠kj;i≠jk_i \neq k_j;i \neq j$ 。写出求将正整数 $r$ 分解为 $k_1, k_2, ..., k_n$ 的和的方法数的算法，要求 $k_i$ 最多可被选中三次。（整数分解问题，分解成偶数的和，每个数最多被选中三次。）
求方程

$\left\{ \begin{array}{lr} x_1 + x_2 + 4x_3 +x_4= 160, \\ 2 \le x_3 \le 10, x_4 \le 3 \end{array} \right.$
正整数解的个数。（比较难算，所以题都背下来了）

证明11个人中必定有4个人彼此相认或3个人彼此不相识。
求解递归关系
$\left\{ \begin{array}{lr} a_n - 2a_{n-1} - 3a_{n-2}= 2 \times3^n, \\ a_0=1, a_1=2 \end{array} \right.$
(题目是通过答案反推的，参考答案为： $an=118(−1)n−38×3n+32×3nna_n = \frac{11}{8}(-1)^n-\frac{3}{8}\times3^n+\frac{3}{2}\times3^nn$ )
禁区棋盘的棋盘多项式计算（类似原题：2020年第五题）
奔赴抗疫，全国 4 个片区共有 68个医疗队，其中西南片区有 10 个，中部片区有 18 个，北方片区有 18个，东部片区有22 个。假定同一片区的各个医疗队不加以区别，现在要从中选取 27个医疗队入围。考虑到不同片区的特殊情况，要求西南片区至少入围 4 个医疗队，北方片区至少入围 7 个医疗队，其他片区至少各入围 2 个医疗队，问理论上有多少种不同的选取方案？（数字是根据答案反推的：本质就是四种元素的12-重集，有两种元素个数6、 11需要讨论数量是否够取）另外感谢教研室同学帮忙回忆
求不包含 3、5、7，出现偶数次 1、2，至少出现两次 4、8 的 r 位十进制数的个数。（具体数字记不清了，但是限制条件和被限制数的个数是对的，比较难算）
(6分)开放题：解释是否存在一种无损压缩算法（解压后能得到和原来完全一样的数据），可以把任意数据进行压缩变得更小？（老师这刀除了香农老爷子砍不死外，基本上所有考生众生平等了，不太好作答）

附录：2020 电子科技大学研究生试卷组合数学（卢光辉、戴波）

Copyright 额？好像是我们教研室一个学长上传的。不过被其他人下载后重复上传了，我是花了59积分下载的盗传版本（吐血）。总之附录部分不是我原创的，有必要说明一下。
PS：我直接贴截图了，不喜欢这个清晰度可以去下载pdf版（优快云上传资源没法设置0积分下载，所以下载pdf版通常要积分，没必要啊。）

在这里插入图片描述

附录：2017-18 电子科技大学研究生试卷组合数学

(12’)
- 若7个人中有1对夫妇，试求从中取出6个人的夫妇不相邻的 $6^-$ 线排列的种数。
- 若7个人中有3对夫妇，试问从中取出6个人的夫妇均不相邻的圆排列有多少种。
(14‘) 现有重集 $,kn⋅bn}B=\{k_1 \cdot b_1, k_2 \cdot b_2, k_3 \cdot b_3, \cdots ,k_n \cdot b_n \}$ ，试根据母函数给出求该重集 $B$ 的 $r^-$ 组合数的算法。
某工厂欲在31天内完成50个产品。每天至少完成1个产品。试证明无论工厂怎样安排，一定有连续的几天完成 11个产品。
求下列方程的正整数解的个数：
$\left\{ \begin{array}{lr} x_1 + x_2 + x_3 +x_4= 10, \\ 1 \le x_1 \le 4, 2 \le x_3 \le 6, 0 \le x_3 \le 2 \end{array} \right.$
证明：广义Ramsey数 $R(C4,C4)≥6R(C_4, C_4) \geq 6$ ，其中 $C_4$ 为4个顶点的无向回路图。
求由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的r位数中，1和3出现偶数次，4和6至少出现一次的r位数的个数。
试解出递归关系：
$\left\{ \begin{array}{lr} a_n = 6a_{n-1} + 7a_{n-2} + (-1)^n, \\ a_0=7, a_1=\frac{7}{8} \end{array} \right.$
(12‘)亚洲、欧洲、非洲、北美洲、南美洲准备承办接下来五届奥运会。已知亚洲不能承办第1和3届的奥运会，欧洲不能承办第2届的奥运会，非洲不能承办第4届奥运会，南美洲不能承办第1和4届奥运会，北美洲不能承办第5届奥运会，其他不参与承办，试问共有多少种承办方案

附录：2014 电子科技大学研究生试卷组合数学（卢光辉、杨国武）

一、（17分）解下列递归关系

二、（18分）今后5届APEC会议由美国、印度、澳大利亚、加拿大、俄罗斯5国举办，一个国家只能举办一次。假如美国只能举办第一届、第二届或者第三届，印度不能举办第一届，澳大利亚只能举办第二届、第四届或者第五届，加拿大不能举办第二届和第三届，俄罗斯不能举办第五届。问未来的5届APEC会议有多少种不同的举办方案？

三、（15分）某省打算未来3个财政年度偿还一批地方债，计划每个月至少偿还10亿元，每个财政季度（3个月）至多偿还50亿元。证明：无论怎样安排偿还时间表，必然存在相继的若干月，在这些月内恰好偿还110亿元地方债。假定每月偿还的地方债都以整10亿元计。

四、（16分）求2和8都出现偶数次，1和7都出现奇数次，并且4至少出现1次的r位十进制数的个数。

五、（18分）全国4个片区共40所大学申报国家重点实验室，其中，西部片区有7所大学，华北片区有18所大学，华东片区有10所大学，华南片区有5所大学。假定同一片区的各所大学不加以区别，现在要从中选取14所大学入围。

（1）问理论上有多少种不同的选区方案？

（2）现为了考虑不同片区的特殊情况，如果西部片区至少有4家入围，华北片区至少有2家入围，问理论上有多少种不同的选取方案？

六、（6分）求两个“1”之间至少要有两个“0”的14位二进制数的个数。

七、（6分）求集和{1,2，…，64}的既不含相邻整数，也不同时包含1和64的28-组合的个数。

八、（12分）证明：广义Ramsey数R(C4,C4) ≥6，其中C4为4个顶点的无向回路图。