Hdu 4498 自适应辛普森积分

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本文介绍了一种通过枚举和辛普森法则计算100个二次函数在[0,100]区间内最小值弧长的方法。通过将交点排序并分段，运用弧长公式进行积分计算。

题意：求100个二次函数最小值在区间[0,100]的弧长(y=100也可以看做退化的二次函数)

做法：n方枚举交点，把交点排序后分段，每段用弧长公式积分，积不出来就辛普森一下就行了。我一开始naive地直接辛普森，发现挂了，然后强行分成100段，还是挂了，这个故事告诉我们暴力那啥不可取，要相信科学(辛普森只能积优美的连续函数)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, t, p;
double A[105], B[105], C[105];
vector<double>vs;
int getbest(double x){
    int pos=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(A[i]*x*x+B[i]*x+C[i]<A[pos]*x*x+B[pos]*x+C[pos])pos=i;
    }
    return pos;
}
void add(double a, double b, double c){
    double delta=b*b-4*a*c;
    if(delta<0)return ;
    double p1=(-b+sqrt(delta))/2/a;
    double p2=(-b-sqrt(delta))/2/a;
    if(p1>0&&p1<100)vs.push_back(p1);
    if(p2>0&&p2<100)vs.push_back(p2);
}
double f(double x){
    return sqrt(1+(2*A[p]*x+B[p])*(2*A[p]*x+B[p]));
}
double simpson(double a, double b){
    double c=(a+b)/2;
    return (f(a)+4*f(c)+f(b))*(b-a)/6;
}
double asr(double a, double b, double A, double eps){
    double c=(a+b)/2;
    double L=simpson(a, c), R=simpson(c, b);
    if(fabs(L+R-A)<=15*eps)return L+R+(L+R-A)/15;
    return asr(a, c, L, eps/2)+asr(c, b, R, eps/2);
}
double asr(double a, double b, double eps){
    return asr(a, b, simpson(a, b), eps);
}
int main()
{
    cin>>t;
    while(t--){
        vs.clear();
        cin>>n;
        A[0]=0, B[0]=0, C[0]=100;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int k, a, b;
            cin>>k>>a>>b;
            A[i]=k;
            B[i]=-2*k*a;
            C[i]=k*a*a+b;
        }
        for(int i=0;i<=100;i++){
            for(int j=i+1;j<=100;j++){
                add(A[i]-A[j], B[i]-B[j], C[i]-C[j]);
            }
        }
        vs.push_back(0);
        vs.push_back(100);
        sort(vs.begin(), vs.end());
        double siz=vs.size();
        double ans=0;
        for(int i=0;i<siz-1;i++){
            double l=vs[i], r=vs[i+1];
            double mid=(l+r)/2;
            if(r-l<=1e-8)continue;
            p=getbest(mid);
            ans+=asr(l, r, 1e-8);
        }
        printf("%.2f\n", ans);
    }
}