虚树模板题
题目大意:给出一棵有n个结点的有根树,根结点为1,每条边又有一个权值,给出若干个询问,每次询问给出若干个结点,删除一些边以后使得这些结点不能到达根结点,问最小花费是多少。
n<250000,∑每次询问的结点数\sum每次询问的结点数∑每次询问的结点数<500000
虚树,顾名思义就是一棵假的树,用来解决一类多询问树上dp问题。
以这个题为例,就是每次给出一些关键结点,如果我们对每次询问dp整棵树的话那肯定T飞了,那我们就得对询问进行相应对简化,把他简化成一棵结点数大致和关键结点数相当的树。
以case为例
原树是这样
那我们对关键结点6 10进行处理的话就可以把树简化成这样
其他结点都是不必要的。这就是我们要构造的虚树。
这个树大致包括3类结点
- 根结点
- 关键结点
- 关键结点的lca
那么我们要考虑如何把这棵树构造出来。
这时我们可以维护一个单调栈,在栈里元素的含义是一条包括关键结点的树链,我们每次将关键结点加入这个单调栈,并进行相应的弹栈处理:
- 首先我们要将根结点加入这个单调栈。
- 如果栈中元素小于等于1,那么直接入栈。stk[++hd]=x
- 如果栈顶元素和当前结点的lca就是栈顶元素,那么说明我们在处理的还是同一条链,那么也直接入栈,stk[++hd]=x;
- 如果栈顶元素和当前结点的lca不是栈顶元素,那么说明我们在处理的元素以及不是一条链了,那么需要把之前那些同属于一条链的元素弹出来,并构建把他们实际构建出来。注意此时若lca不在栈中则应该把lca加入栈中。
为了保证同一棵子树的元素都在一起,我们需要先维护一个dfs序,然后对关键结点用dfs序排序。
此时我们的虚树就构建完成了。
之后进行树上dp。
我们用mn[x]表示从x到根结点的路径上的最小值,dp[x]表示切断x以及之后的子树所需要的最小花费,那么:
- 若当前结点是关键结点,dp[x]=mn[x];
- 若当前结点不是关键结点,那么dp[x]+=min(dp[y],mn[y])dp[x]+=min(dp[y],mn[y])dp[x]+=min(dp[y],mn[y])
实现代码(bzoj不支持c++11):
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=250005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct node{
int v,d,nxt;
}p[N<<1];
int head[N],anc[20][N],dep[N],tot;
int dfn[N],idx,mn[N];
void init(){
tot=0;
mn[1]=inf;
memset(dep,0,sizeof(dep));
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int x,int y,int d){
p[tot].v=y;
p[tot].d=d;
p[tot].nxt=head[x];
head[x]=tot++;
}
void dfs(int x,int fa){
dfn[x]=++idx;
dep[x]=dep[fa]+1;
anc[0][x]=fa;
for(int i=1;i<20;i++){
anc[i][x]=anc[i-1][anc[i-1][x]];
}
for(int i=head[x];~i;i=p[i].nxt){
int y=p[i].v;
if(y==fa)
continue;
mn[y]=min(mn[x],p[i].d);
dfs(y,x);
}
}
int lca(int x,int y){
if(dep[y]<dep[x])
swap(x,y);
for(int i=19;i>=0;i--)
if(dep[anc[i][y]]>=dep[x])
y=anc[i][y];
if(x==y)
return x;
for(int i=19;i>=0;i--){
if(anc[i][x]!=anc[i][y]){
x=anc[i][x];
y=anc[i][y];
}
}
return anc[0][x];
}
vector<int>vp[N],key;
int stk[N],hd,flag[N];
bool cmp(int x,int y){
return dfn[x]<dfn[y];
}
void vp_clear(){
hd=0;
for(int i:key){
flag[i]=0;
}
if(!key.empty())
key.clear();
}
ll dp(int x){
ll res=0;
for(int i:vp[x]){
res+=min(dp(i),1ll*mn[i]);
}
vp[x].clear();
if(flag[x])
return mn[x];
else
return res;
}
void insert(int x){
if(hd<=1){
stk[++hd]=x;
return;
}
int lc=lca(x,stk[hd]);
if(lc==stk[hd]){
stk[++hd]=x;
}
else{
while(hd>1&&dfn[lc]<=dfn[stk[hd-1]]){
vp[stk[hd-1]].push_back(stk[hd]);
hd--;
}
if(lc!=stk[hd]){ //如果lca不在栈中,那么加入栈,否则会有问题
vp[lc].push_back(stk[hd]);
stk[hd]=lc;
}
stk[++hd]=x;
}
}
int main(){
init();
int n,m,x,y,d;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n-1;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&d);
add(x,y,d);
add(y,x,d);
}
dfs(1,0);
scanf("%d",&m);
while(m--){
scanf("%d",&x);
for(int i=0;i<x;i++){
scanf("%d",&y);
key.push_back(y);
flag[y]=1;
}
sort(key.begin(),key.end(),cmp);
stk[++hd]=1;
for(int i:key){
insert(i);
}
while(hd>1){
vp[stk[hd-1]].push_back(stk[hd]);
hd--;
}
printf("%lld\n",dp(1));
vp_clear();
}
return 0;
}