BZOJ1336 [Balkan2002]Alien最小圆覆盖

最新推荐文章于 2018-07-08 17:16:09 发布

Monster__Yi

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分类专栏：计算几何文章标签：计算几何

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本文介绍了一种寻找平面上多个点的最小圆覆盖算法。通过分析得出，最小圆覆盖通常是某两点构成的直径或某三角形的外接圆。文章详细讲解了如何使用高斯消元法确定该圆，并采用O(n^3)复杂度算法实现，通过随机化避免最坏情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：寻找平面上n(2 <= n <= 100000)个点的最小圆覆盖。

分析：

GTK神犇讲的一道题。

首先，不难发现，最小圆覆盖必定是某两点做直径或某三角形的外接圆。

假设我们已经找到了前i-1个点的最小圆覆盖，如果第i个点没在圆内，那么前i个点的最小圆覆盖一定过这个点，这是显然的。

之后枚举另两个在圆上的点，三点确定一个圆就行。

至于怎么确定，出于我懒得解方程，就写了个高斯消元。

那，O(n^3)不会炸吗？

答案是不会，因为每个循环进的概率很低，即使他刻意卡，我们在前面用个random_shuffle就行了。

还有听说这题掉精度掉的特别厉害，于是我求dist时就求的平方，r也保存的平方，也没加什么eps，反正一遍过了。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 100005;
int n;
double r,q[5][5];
struct nd {double x,y;}o,p[N];

double d(nd &a, nd &b) {return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);}

void upd(nd &a, nd &b, nd &c) {
	q[1][1]=2*(b.x-a.x),q[1][2]=2*(b.y-a.y),q[1][3]=(b.x*b.x+b.y*b.y-a.x*a.x-a.y*a.y);
	q[2][1]=2*(c.x-a.x),q[2][2]=2*(c.y-a.y),q[2][3]=(c.x*c.x+c.y*c.y-a.x*a.x-a.y*a.y);
    for(int i = 1; i <= 2; i++)
    for(int j = 1; j <= 2; j++) if(i != j) {
        double x = q[j][i]/q[i][i];
        for(int k = 1; k <= 3; k++) q[j][k] -= x*q[i][k];
    }
    o.x = q[1][3]/q[1][1], o.y = q[2][3]/q[2][2];
    r = d(o, a);
}

int main() {
	srand(233666999);
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
	random_shuffle(p+1, p+1+n);
	o = p[1];
	for(int i = 2; i <= n; i++) if(d(o, p[i]) > r) {
		o.x = (p[1].x+p[i].x)/2, o.y = (p[1].y+p[i].y)/2, r = d(o, p[i]);
		for(int j = 2; j < i; j++) if(d(o, p[j]) > r) {
			o.x = (p[i].x+p[j].x)/2, o.y = (p[i].y+p[j].y)/2, r = d(o, p[i]);
			for(int k = 1; k < j; k++) if(d(o, p[k]) > r) upd(p[i], p[j], p[k]);
		}
	}
	printf("%f\n%f %f", sqrt(r), o.x, o.y);
	return 0;
}