POJ2409 Let it Bead

本文介绍如何使用Burnside定理解决一种典型的等价类计数问题——给环形结构染色,并考虑旋转和翻转同构的情况。通过分析不同情况下的不动点数量,给出了一种计算有效染色方案数目的方法。

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题意:用k种颜色给一个长度为n的环染色,旋转翻转同构的不算,问方案数。

分析:

等价类计数问题。

一般这种问题都是用Burnside定理来搞。

首先考虑翻转操作。

如果n是奇数,有n种翻转方式,每种方式的不动点都是k^((n+1)/2).

如果n是偶数,有n/2种翻转对称轴过某一点,每种的不动点是k^(n/2+1),另有n/2种翻转对称轴不过点,不动点是k^(n/2).

接下来考虑旋转。

可以观察出旋转i(1 <= i <= n),循环节个数为gcd(n,i),即不动点个数为k^gcd(n,i).

第一道Burnside计数问题,纪念一下...

#include <cstdio>

int n,k,ans;

int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a%b) : a;}

int pw(int x, int y) {
	int r = 1;
	while(y) {if(y & 1) r *= x; x = x*x, y >>= 1;}
	return r;
}

int main() {
	while(scanf("%d%d", &k, &n) && n) {
		if(n & 1) ans = n*pw(k,(n+1)/2); else ans = n/2*(pw(k,n/2)+pw(k,n/2+1));
		for(int i = 1; i <= n; i++) ans += pw(k,gcd(n,i));
		printf("%d\n", ans/n/2);
	}
	return 0;
}

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