NKOJ 3446 （HN Training 2015）Shopping （点分治+树形dp）

P3446【HN Training 2015 Round7】

问题描述

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容易发现最后答案是树上的一个联通块，但直接dp难度较大，考虑用点分治转化成一定包含根的联通块。

点分治后，每一层考虑包含根的联通块，那么转化成一个树形依赖背包，只有选了父节点才能选子节点，并且每个物品有个数限制。

这里对于这种树形依赖dp，可以采用dfs序来简化，因为在dfs序中，一颗子树必然是连续的一段，那么令$F[i][j]$表示在$dfs序i-n这些节点中容积为j的背包的最优解$,因此在物品数量均为1时可以得到dp方程

$$F[i][j]=max(F[i+size[i]][j],F[i+1][j-c[i]]+w[i])$$
第一个转移表示不选i节点的物品，那么跳过i这颗子树，第二个转移表示选。答案就是 $F[1][m]$

接着考虑物品数量的限制，这里我用的二进制拆分的方法，即将d个物品拆成$log\ d$个物品，举个例子，比如将$10$个物品可以拆成$1,2,4,3$这4个物品，容易发现，无论从这10个物品中取多少个，都可以用上述4个物品表示出来。

修改后的dp方程可以参照代码，改动不大，只是多了一个$log$的复杂度。最终复杂度$Tnm\log n\log d$，实际上跑得还是很快。

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代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 505
#define M 4005
using namespace std;
int T,n,m,w[N],c[N],d[N],F[N][M],ans;
int TOT,LA[N],NE[N*2],EN[N*2];
int Min,rt,si[N],VT,sz[N],wi[N],ci[N],di[N];
bool mark[N];
void ADD(int x,int y)
{
    TOT++;
    EN[TOT]=y;
    NE[TOT]=LA[x];
    LA[x]=TOT;
}
void Gsi(int x,int f)
{
    int i,y;si[x]=1;
    for(i=LA[x];i;i=NE[i])
    {
        y=EN[i];
        if(y==f||mark[y])continue;
        Gsi(y,x);si[x]+=si[y];
    ans=max(ans,F[1][m]);
    }
}
void Grt(int x,int f,int s)
{
    int i,y,Max=s-si[x];
    for(i=LA[x];i;i=NE[i])
    {
        y=EN[i];
        if(y==f||mark[y])continue;
        Grt(y,x,s);
        if(Max<si[y])Max=si[y];
    }
    if(Max<Min)Min=Max,rt=x;
}
void DFS(int x,int f)
{
    int i,y,p=++VT;si[x]=1;
    for(i=LA[x];i;i=NE[i])
    {
        y=EN[i];
        if(mark[y]||y==f)continue;
        DFS(y,x);si[x]+=si[y];
    }
    sz[p]=si[x];wi[p]=w[x];ci[p]=c[x];di[p]=d[x];
}
void Gans(int x)
{
    int i,j,k,y;VT=0;DFS(x,0);//DFS序
    for(i=VT;i>0;i--)
    {
        for(j=0;j<=m;j++)F[i][j]=F[i+sz[i]][j];
        for(k=1,y=di[i];y>0;y-=k,k<<=1)//拆分物品
        for(j=m;j>=k*ci[i]||j>=y*ci[i];j--)//背包
        if(k<y)F[i][j]=max(F[i][j],max(F[i][j-k*ci[i]],F[i+1][j-k*ci[i]])+k*wi[i]);
        else F[i][j]=max(F[i][j],max(F[i][j-y*ci[i]],F[i+1][j-y*ci[i]])+y*wi[i]);
    }
    ans=max(ans,F[1][m]);
    for(i=VT;i>0;i--)
    for(j=0;j<=m;j++)F[i][j]=0;
}
void DC(int x)
{
    int i,y;mark[x]=1;
    Gans(x);
    for(i=LA[x];i;i=NE[i])
    {
        y=EN[i];if(mark[y])continue;
        Min=1e9;Gsi(y,0);Grt(y,x,si[y]);DC(rt);
    }
}
int main()
{
    int i,j,k,x,y;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        TOT=0;ans=0;
        memset(LA,0,sizeof(LA));
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
        for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
        for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
        for(i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            ADD(x,y);ADD(y,x);
        }
        Min=1e9;Gsi(1,0);Grt(1,0,n);DC(rt);
        printf("%d\n",ans);
    }
}