数据结构之树：树的介绍——9

数据结构之树，介绍篇

树的基本定义

• 介绍：树（tree）是计算机中非常重要的数据结构，它的外形看起来像一颗倒挂着的的树，使用树这种结构可以描述生活中很多的事物，如族谱，单位的组织架构，xml，html的中属性的关系，文件目录，路由协议，某些数据库的索引，机器学习中的决策树等
• 定义：树是由n（n>=1）个有限结点(node)组成的一个具有层次关系的集合，某些结点之前存在特定的关系，用连线相连，连线称作边(edge)，边的上端的结点称为父结点，下面的端点称为子结点
  

树的特点

1. 每个结点有0个或多个子结点
2. 没有父结点的结点称为根结点
3. 一个父结点可能有多个子结点
4. 每个结点及其后代结点也可以看做一棵树，称为当前结点父结点的一颗子树
   

树的相关术语

• 结点的度：一个结点含有的子树的棵数
• 叶结点：度为0的结点称为叶结点，也叫做终端结点
• 分支结点：度不为0的结点称为分支结点，或叫做非终端结点
• 结点的层次：根结点层次为1，它的直接后继层次为2，以此类推
• 结点的层序编号：将一棵树的结点按照从上往下，同层次从左往右的顺序，依次使用自然数按顺序编号获得的值
• 树的度：树中所有结点最大的度，可能是根结点的度也可能不是（如某颗子树存在更多个颗树）
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次
• 结点的深度：是指对应结点到根结点路径长度(经过的层次)
• 森林：没有相互直接连接或间接连接关系的树的集合，可称之为森林。（将一棵树的根结点及其边移除得到所有其子树组成的集合，可称为森林）
• 孩子(子)结点：一个结点的直接后继结点称之为该结点的孩子(子)结点
• 双亲(父)结点：一个结点的直接前驱结点称之为该结点的双亲(父)结点
• 兄弟结点：双亲结点相同的结点，互为兄弟结点
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

树的常见/常用种类

• 二叉树（Binary tree，区别于B-tree）：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
• 完全二叉树（Complete Binary tree）：除了最后一层的结点树有可能没有达到饱和外，其他所有层都已经是饱和值，此外，其最后一层的结点会尽量从左往右生成；
• 满二叉树（Full Binary tree）：满二叉树是完全二叉树的一种特殊情况
• 平衡二叉树（AVL tree，取名于其两个发明者 Adelson-Velsky和Landis）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
• 二叉查找树（英语：Binary Search Tree，BST），是一种内存中特殊的数据结构，它允许对存储在其结点的数据进行增删改查，或者用作动态的数据集合，或是通过key查找对应value的查找表；
• 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
• B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

其中一部分我们会在后续详细介绍

二叉树的性质

• 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
• 性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
• 性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
• 性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
• 性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）