【题解】CF796E：Exam Cheating

最新推荐文章于 2024-08-07 16:30:53 发布

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#题解 #codeforces #DP

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本文探讨了一道经典的动态规划(DP)问题，通过设计四维状态dp[i][j][k][l]来解决竞赛中两人合作作弊的最优策略。文章详细分析了不同情况下的状态转移方程，并给出了优化后的O(n^2k)时间复杂度解决方案。

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作弊要警告处分的说。。。
显然是一道DP的题目
设计状态： $d p [i] [j] [k] [l]$ 表示第i道题目，用了j次偷看机会，两个人分别还剩 $k, l$ 道题目可以偷看
用刷表法转移，分类讨论

不偷看
只偷看左边：1、直接偷看；2、重新偷看
只偷看右边：1、直接偷看；2、重新偷看
两边一起偷看：1、都直接偷看；2、都重新偷看；3、左边那位直接偷看，右边那位重新偷看；4、左边那位重新偷看，右边那位直接偷看

注：直接偷看的意思是用了上次机会继续偷看下去，重新偷看的意思是重新新用一个机会开始偷看

转移的时候需要注意：

是否还能继续直接偷看
不管看不看，只要还在这次机会里面，都要使剩余的题目数-1，具体在代码中体现为 $m a x (k - 1, 0)$

来分析一下复杂度
时空间复杂度 $O(npk^2)$
空间上发现第一位滚动掉就可以避免MLE
时间上怎么优化？
发现如果 $p * k > = 2 * n$ 的话，你直接全部偷看过来得了
这个一特判，时间复杂度上界变为 $O(n^2k)$ ，就可以过啦

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1010
#define maxm 60
using namespace std;
int n, p, K, a[maxn], b[maxn], dp[2][maxn][maxm][maxm];

inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
	return s * w;
}

void upd(int &x, int y){ if (x < y) x = y; }

int main(){
	n = read(), p = read(), K = read();
	int x = read();
	for (int i = 1; i <= x; ++i){
		int y = read(); a[y] = 1;
	}
	x = read();
	for (int i = 1; i <= x; ++i){
		int y = read(); b[y] = 1;
	}
	if (p * K >= (n << 1)){
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) ans += a[i] | b[i];
		return printf("%d\n", ans), 0;
	}
	memset(dp, -0x3f, sizeof(dp)); dp[0][0][0][0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		int now = i & 1, pre = now ^ 1;
		memset(dp[now], -0x3f, sizeof(dp[now]));
		for (int j = 0; j <= p; ++j)
		for (int k = 0; k <= K; ++k)
		for (int l = 0; l <= K; ++l){
			int tmp = dp[pre][j][k][l];
			upd(dp[now][j][max(k - 1, 0)][max(l - 1, 0)], tmp);
			if (k) upd(dp[now][j][k - 1][max(l - 1, 0)], tmp + a[i]);
			upd(dp[now][j + 1][K - 1][max(l - 1, 0)], tmp + a[i]);
			if (l) upd(dp[now][j][max(k - 1, 0)][l - 1], tmp + b[i]);
			upd(dp[now][j + 1][max(k - 1, 0)][K - 1], tmp + b[i]);
			if (k && l) upd(dp[now][j][k - 1][l - 1], tmp + (a[i] | b[i]));
			if (k) upd(dp[now][j + 1][k - 1][K - 1], tmp + (a[i] | b[i]));
			if (l) upd(dp[now][j + 1][K - 1][l - 1], tmp + (a[i] | b[i]));
			upd(dp[now][j + 2][K - 1][K - 1], tmp + (a[i] | b[i]));
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int j = 0; j <= p; ++j)
	for (int k = 0; k <= K; ++k)
	for (int l = 0; l <= K; ++l) upd(ans, dp[n & 1][j][k][l]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}