【题解】绍兴一中-7.27-T2

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#题解 #DP #树相关

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本文介绍了一种解决特定树形结构问题的算法——树型动态规划，并结合换根技巧进行优化，通过实例详细解释了如何计算树中挂花的最小数量，使读者能够深入理解算法原理及其实现。

传送门
首先能发现一个性质：如果一棵子树没有花，那么这棵子树不分叉
根据这个可以发现，若一个点的所有子树都变成链，那么需要挂的花的个数是子树数-1
有了这个可以树型DP，任选一个点为根，根是要挂花的，DP出所有点的答案
但是如果根不同，答案也可能不同
所以枚举所有点为根的情况， $O (n)$ 跑DP
复杂度为 $O(n^2)$
不行，考虑优化换根操作
这是一个非常妙的技巧
任选一个点为根时，先把他为根的答案统计，再把他的数据传到儿子上，接下来就以儿子为根做DP
具体说不清楚，看代码
Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
using namespace std;
struct Edge{
	int to, next;
}edge[maxn << 1];
int num, head[maxn], dp[maxn], n, ans;

inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48) ;
	return s * w;
} 

void addedge(int x, int y){ edge[++num] = (Edge) { y, head[x] }; head[x] = num; }

void dfs1(int u, int pre){//处理以1为根的答案
	int cnt = 0;
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next){
		int v = edge[i].to;
		if (v != pre){
			dfs1(v, u);
			dp[u] += dp[v];
			cnt += !dp[v];
		}
	}
	dp[u] += max(cnt - 1, 0);
}

void dfs2(int u, int pre){
	int sum = 0, cnt = 0;
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next){//计算以当前点为根的答案
		int v = edge[i].to;
		sum += dp[v];
		cnt += !dp[v];
	}
	ans = min(ans, 1 + (sum += max(cnt - 1, 0)));
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next){
		int v = edge[i].to;
		if (v != pre){
			dp[u] = sum - dp[v];//换根，减掉即将成为根的点的贡献
			if (!dp[v] && cnt > 1) --dp[u];/
			dfs2(v, u);
		}
	}
}

int main(){
	n = read();
	if (n == 1) return puts("0"), 0;
	for (int i = 1; i < n; ++i){
		int x = read(), y = read();
		addedge(x, y); addedge(y, x);
	}
	dfs1(1, 0);
	ans = n;
	dfs2(1, 0);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}