一个算法题

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想加个群都那么难

题目

求1<=i<=10**12范围内所有d(i)的和的末12位，d(i)表示i的正约数的和，i为整数

解答

本来写个直接暴力的，可惜太蠢了，运行太久忍不了就给关了
想了想，上网搜下，别人写的我怎么都不懂呢

参考一

def d(n):
    s = 0
    for i in range(1, int(n**0.5)+1):
        s += n//i*i

    i = int(n**0.5)+1
    for j in range(n//i, 0, -1):
        s += j * ((i+n//j)*(n//j-i+1)//2)
        i = n//j+1

    return s
print(d(10**12))

真快，差不多两秒就出答案了。
先是比开平方之后小的数，尤其是1啊2啊3啊这种数，量太大了
直接使用n//i*i的方法，10^12个数必然有10^12/1个1 ，10^12/2个2， 10^12/3个3 ，依此类推
为什么选择最大数的平方根呢，因为平方根正好是n个n嘛

接下来开启懵逼模式

    for j in range(n//i, 0, -1):
        s += j * ((i+n//j)*(n//j-i+1)//2)
        i = n//j+1

$\frac{j * (i+\frac{n}{j})*(\frac{n}{j}-i+1)}{2}$
大概只剩下我数学学的不好别骗我了。。。。
既然看不懂那就去掉吧

def d(n):
    s = 0
    for i in range(1, int(n*0.5)+1):
        s += n//i*i
    return s
print(d(10**12))

结果这个运算也要运算好久。

这张图或许有助于理解
难道说那是高斯的求和公式？先将最大的代进去试试
$\frac{\frac{n}{i} * (i+\frac{n}{\frac{n}{i}})*(\frac{n}{\frac{n}{i}}-i+1)}{2}$
由于都是整除，看起来可能有些奇怪，整除的后果就用大写的来标识吧
$\frac{\frac{n}{i} * (i+I)*(I-i+1)}{2}$
啊，还有整除问题。
$\frac{ (N+NN)*(NN-N+1)}{2}$
感觉不太对，莫非j=1才是最大项的？
$\frac{ (i+n)*(n-i+1)}{2}$
好懂不少了，真是高斯求和。
研究一下为啥这样求吧