dlutoj 1411 Measuring Cylinder（二分+容斥）

这是我们周日埃森哲的一个题，这题还不错，有点意思的。
题意就是给你n个量杯，然后你可以给量杯倒满水，倒来倒去，最后要求你得到1单位量的水，最少需要选择几个杯子。
看到这里就想到了就是给你一堆数字，然后减来减去，最后得到1，这个就是扩展欧几里德的推广了，就是这些数字的$gcd=1$的话，就是他们可以最后得到1.
想到了这里才是刚刚开始呢，这题要求最少需要几个杯子，这就有点难办了，很难直接算出来需要几个杯子，所以可以转换一下思路，如果你知道需要几个杯子，能否求出他们是否能够得到$gcd=1$，这就等于求$gcd=1$的方案数是不是0。
因为是求杯子的最少个数，所以我们可以直接二分答案，然后去求n个数中取了x个数，能得到$gcd=1$的方案数是多少。
这个就是个老问题了啊，容斥呗，首先求出$bei[i]$表示i的倍数有多少个，$f[i]$表示gcd为i的倍数的方案数，$g[i]$表示gcd为i的方案数。
所以可以得到

$$f[i]=C(bei[i],x)$$ $$g[i]=g[i]-g[i]-g[2*i]-g[3*i]-\ldots-g[k*i]$$ $bei[i]$可以输入的时候记录，然后筛法求出，$f[i]$通过组合数逆元求出，$g[i]$也是通过筛法，而且要倒着枚举i

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代码

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")

using namespace std;
#define   MAX           100005
#define   MAXN          6005
#define   maxnode       15
#define   sigma_size    30
#define   lson          l,m,rt<<1
#define   rson          m+1,r,rt<<1|1
#define   lrt           rt<<1
#define   rrt           rt<<1|1
#define   middle        int m=(r+l)>>1
#define   LL            long long
#define   ull           unsigned long long
#define   mem(x,v)      memset(x,v,sizeof(x))
#define   lowbit(x)     (x&-x)
#define   pii           pair<int,int>
#define   bits(a)       __builtin_popcount(a)
#define   mk            make_pair
#define   limit         10000

//const int    prime = 999983;
const int    INF   = 0x3f3f3f3f;
const LL     INFF  = 0x3f3f;
const double pi    = acos(-1.0);
//const double inf   = 1e18;
const double eps   = 1e-8;
const LL    mod    = 1e9+7;
const ull    mx    = 133333331;

/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
      char c;
      while((c=getchar())<'0' || c>'9');
      x=c-'0';
      while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
 }
/*****************************************************/

int a[MAX];
int bei[MAX];
LL cnt[MAX];
LL f[MAX];
int n;
LL fact[MAX];
int maxn;
int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

LL qpow(LL a,LL n){
    LL ans=1;
    while(n){
        if(n&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

LL C(int a,int b){
    if(a<b) return 0;
    return (fact[a]*qpow(fact[b],mod-2)%mod)*qpow(fact[a-b],mod-2)%mod;
}

bool check(int x){
    for(int i=1;i<=maxn;i++){
        cnt[i]=C(bei[i],x);
    }
    for(int i=maxn;i>0;i--){
        f[i]=cnt[i];
        for(int j=2*i;j<=maxn;j+=i) f[i]-=f[j];
        f[i]=(f[i]%mod+mod)%mod;
    }
    if(f[1]>0) return true;
    return false;
}

void init(){
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=100000;i++) fact[i]=fact[i-1]*i%mod;
}

int main(){
    int t;
    cin>>t;
    init();
    while(t--){
        cin>>n;
        mem(bei,0);
        int tmp=0;
        maxn=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            tmp=gcd(tmp,a[i]);
            maxn=max(maxn,a[i]);
            bei[a[i]]++;
        }
        for(int i=1;i<=maxn;i++){
            for(int j=2*i;j<=maxn;j+=i) bei[i]+=bei[j];
            //if(bei[i]) cout<<bei[i]<<" "<<i<<endl;
        }
        if(tmp!=1) printf("-1\n");
        else{
            int l=1,r=n;
            while(l<=r){
                int mid=(l+r)/2;
                if(check(mid)) r=mid-1;
                else l=mid+1;
            }
            cout<<l<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

/**************************************************************
    Problem: 1411
    User: 1403mashaonan
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:5592 ms
    Memory:4776 kb
****************************************************************/