「达摩院MindOpt」用于多目标规划（加权和法）

多目标规划的处理

多目标规划（Multi-objective programming）是指在一个优化问题中需要同时考虑多个目标函数的优化。在多目标规划问题中，目标函数之间通常是互相冲突的，即在优化一个目标函数的过程中，另一个或几个目标函数可能会受到影响。因此，多目标规划问题的目标是找到一个解x，使得在满足约束的前提下，所有目标函数达到一个相对满意的折中。

在现实世界中，我们经常面临需要在多个目标之间权衡的问题。例如：

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场景	示例
在经济发展与环境保护之间寻求平衡	如经济发展的目标函数可以是国内生产总值（GDP）的增长率，而环境保护的目标函数可以是污染物排放量的减少率。政府在制定政策时需要权衡这两个目标，以实现经济与环境的可持续发展。
在提高产品质量的同时降低成本	如设计一款手机，设计师需要在保证性能、续航时间、重量和成本等多个因素之间达到一个合适的平衡。
在投资理财里权衡收益和风险	如购买基金或股票，投资者需要考虑到不同产品的期望收益和风险，来购买合适风险等级的理财产品。
在供应链管理中的多目标	如库存成本、运输成本、客户满意度等。为了实现这些目标的平衡，公司需要优化其生产、采购、运输和分销策略。
商品定价的利润和销量的博弈	如电子产品定价，希望能得到最多的利润率，同时又希望能扩大销量，使得生产的单位成本降低。

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对于这些多目标问题，如何折中以及如何求解是个难题，为此，学者们提出了许多方法将多目标规划问题转化为单目标规划问题，以便利用传统的单目标优化技术求解。如：加权和法（本篇）、指标法、层次法等。这些方法都有其优缺点，使用时需要根据具体问题的特点选择合适的方法。

值得注意的是，将多目标转化为单目标后求解得到的解可能不是多目标优化问题的帕累托最优解(没有其他解更优)，因此在实际应用中需要权衡各种因素。

加权和法（Weighted Sum Method）

1. 原理

加权和法（Weighted Sum Method），是将多个目标函数通过赋予不同的权重值相加形成一个单一的目标函数。具体来说，假设有$m$个目标函数$f_i(x)，i=1,...,m$，我们可以构建一个新的目标函数$F(x)$如下：

$F(x)=w_1\ast f_1(x)+w_2\ast f_2(x)+...+w_m\ast f_m(x)$

其中$w_i$表示第$i$个目标函数的权重，通常要求所有权重之和为1。

通过调整权重值，可以得到不同的优化结果。

2.举例子

假设一个农场主希望优化其土地上的作物种植布局，需要在以下两个目标之间取得平衡：

• 目标1：最大化农场产值（单位：元）；
• 目标2：最小化化肥使用量（单位：千克）。

农场主有两种作物可以种植：作物A、作物B、作物C。设$x_1$